12.3 Ирационални уравнения и неравенства

Ирационални уравнения с един и два радикала.

Ирационални уравнения с параметър.

Метод на интервалите при дробно-рационални изрази и модули.

Ирационални неравенства и специфични случаи при определяне на ДС.

Ниво I

№	Вариант А (Основно ниво)	Вариант Б (Средно / Изпитно ниво)
1	Намерете ДС и решете уравнението: $\sqrt{x - 1} = 3$	(ТУ, 2020) Намерете корените на ирационалното уравнение: $\sqrt{2x + 5} = x - 1$
2	Чрез определяне на ДС и повдигане на квадрат решете: $\sqrt{x - 1} = x - 3$	(УАСГ, 2021) Намерете реалните корени на уравнението: $\sqrt{x - 2} = x - 5$
3	Намерете реалните корени на уравнението: $\sqrt{x^2 - 2x} = x - 1$	(ТУ, 2021) Намерете броя на корените на уравнението: $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = x - 2$
4	Намерете ДС и решете уравнението с два радикала: $\sqrt{x + 1} = \sqrt{2x - 3}$	(СУ, 2019) Намерете решенията на ирационалното уравнение: $\sqrt{x + 2} = \sqrt{2x - 1}$
5	Решете уравнението: $\sqrt{x + 5} - \sqrt{3x - 1} = 0$	(СУ, 2020) Намерете броя на реалните корени на уравнението: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x - 1} = 0$
6	Определете ДС и пресметнете корена на уравнението: $\sqrt{4x + 1} - \sqrt{x + 1} = 1$	(ТУ, 2023) Решете ирационалното уравнение: $\sqrt{5x + 1} - \sqrt{x + 1} = 2$
7	Чрез полагане $t = \sqrt{x}$ решете ирационалното уравнение: $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$	Чрез полагане решете уравнението: $x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7$
8	Намерете ДС и решете ирационалното неравенство: $\sqrt{x + 1} < 2$	(ТУ, 2020) Намерете множеството от решенията на ирационалното неравенство: $\sqrt{x + 2} < 3$
9	Определете ДС и намерете решенията на неравенството: $\sqrt{3x - 1} \ge 2$	(УАСГ, 2020) Намерете най-малкото цяло число, което е решение на ирационалното неравенство: $\sqrt{2x - 3} \ge 1$
10	За кои стойности на $x$ е изпълнено неравенството: $\sqrt{2 - x} > x$	(ТУ, 2022) Намерете решенията на ирационалното неравенство: $\sqrt{3 - x} > x - 1$
11	При $g(x) > 0$ решете: $\sqrt{x + 3} \le x + 1$	Намерете решенията на ирационалното неравенство: $\sqrt{x + 5} \le x + 3$
12	Определете ДС и решете неравенството: $\sqrt{x + 2} > \sqrt{2x - 1}$	Решете ирационалното неравенство с два радикала: $\sqrt{3x + 1} \ge \sqrt{x + 5}$
13	Решете линейното неравенство с модул: $\vert{}x - 2\vert{} \le 3$	(СУ, 2022) Намерете множеството от решенията на неравенството с модул: $\vert{}2x - 1\vert{} \le 5$
14	Чрез преобразуване до двойно неравенство решете: $\vert{}x^2 - 1\vert{} < 3$	(СУ, 2019) Намерете решенията на неравенството с модул: $\vert{}x^2 - 4\vert{} < 5$
15	Полагайки $t = \vert{}x - 1\vert{}$ , решете неравенството: $\vert{}x - 1\vert{}^2 - 3\vert{}x - 1\vert{} + 2 \le 0$	Полагайки, решете ирационалното неравенство: $x^2 - 2x - \sqrt{x^2 - 2x} - 2 \ge 0$

Ниво II

№	Вариант Б (Тест I модул)	Вариант В (Тест II модул)
1	Намерете стойностите на параметъра $a$ , за които уравнението $\sqrt{x - 1} = a - x$ има поне едно решение.	(УАСГ, 2018) Намерете всички стойности на параметъра $a$ , за които уравнението $\sqrt{x + 2a} = x - a$ има единствен реален корен.
2	Определете ДС и решете уравнението с два радикала: $\sqrt{2x + 5} + \sqrt{x - 1} = 4$	(СУ, 2020) Решете уравнението с два радикала: $\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3} = 2\sqrt{x}$
3	Чрез преобразуване на подкоренните изрази до точни квадрати решете: $\sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 5 - 4\sqrt{x + 1}} = 1$	(ТУ, 2021) Решете ирационалното уравнение: $\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6\sqrt{x - 1}} = 1$
4	Решете ирационалното уравнение: $x^2 + 5x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 8$	(СУ, 2022) Намерете броя на реалните корени на уравнението $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x - a} = 0$ в зависимост от стойностите на параметъра $a$ .
5	Чрез полагане решете уравнението: $x^2 - 2x + \sqrt{x^2 - 2x + 6} = 6$	Намерете за кои стойности на параметъра $a$ неравенството $\sqrt{x + a} \ge 1$ е изпълнено за всяко $x \in [1, 5]$ .
6	За кои стойности на реалния параметър $p$ уравнението $\sqrt{2x - p} = x - 1$ има точно два различни реални корена?	(УАСГ, 2024) Намерете всички стойности на параметъра $a$ , за които уравнението $\sqrt{169 - x^2} = x - a$ има точно едно решение.
7	Намерете решенията на ирационалното неравенство: $\sqrt{x + 2} > x$	(УАСГ, 2024) Намерете броя на целите числа, които са решения на ирационалното неравенство: $\sqrt{x + 3} > x - 1$
8	Решете: $\sqrt{x^2 - 2x - 3} \ge x - 2$	(УАСГ, 2020) Решете ирационалното неравенство: $\sqrt{2x^2 - 3x - 2} \ge x - 1$
9	Намерете ДС и решете неравенството с два радикала: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} > 1$	(СУ, 2023) Решете ирационалното неравенство с два радикала: $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x + 1} > 1$
10	Чрез метода на интервалите решете: $\frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2} \ge 0$	(СУ, 2021) Намерете множеството от решенията на неравенството: $\frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 3x + 2} \ge 0$
11	Намерете ДС и решете неравенството: $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$	(ТУ, 2023) Решете неравенството, съдържащо модул и ирационален израз: $\vert{}x - 2\vert{}\sqrt{x^2 - 9} \le x^2 - 4$
12	Намерете за кои стойности на $x$ е изпълнено ирационалното неравенство: $\sqrt{x^2 - x - 2} < \sqrt{x^2 + 2x - 5}$	За кои стойности на параметъра $m$ ирационалното неравенство $\sqrt{x - 1} \le m - x$ има решение?
13	Решете неравенството: $x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 3} \ge 3$	Решете ирационалното неравенство: $x^2 - 4x - 2\sqrt{x^2 - 4x + 5} \ge -2$
14	Решете неравенството: $(x^2 - 9)\sqrt{2 - x} \ge 0$	Намерете всички решения на неравенството: $\frac{(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x + 1}}{x - 3} \le 0$
15	Намерете решенията на ирационалното неравенство: $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 2}} \ge 1$	Решете неравенството с вложен ирационален израз: $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} \le 3$