11.6 Ирационални неравенства и Метод на интервалите.

1. Метод на интервалите при Дробно-рационални неравенства

Дробно-рационално неравенство е всяко неравенство, съдържащо променлива в знаменателя, което след прехвърляне на всички членове от едната страна и свеждане под общ знаменател приема каноничния вид:

където $P(x)$ и $Q(x)$ са многочлени (полиноми).

Алгоритъм за решаване:

1. Определяне на Допустимите стойности (ДС):

   Знаменателят не може да бъде нула: $Q(x) \neq 0$.

2. Канонизиране и Намиране на критичните точки (нули):

   Разлагаме числителя $P(x)$ и знаменателя $Q(x)$ на възможно най-прости множители от първа ($x – x_i$) или втора степен ($ax^2 + bx + c$ с $D < 0$).

   • Нули на числителя: Стойностите, за които $P(x) = 0$.

   • Нули на знаменателя (забранени стойности): Стойностите, за които $Q(x) = 0$.

3. Отчитане на кратността на корените:

   Всички множители се свеждат до вида $(x – x_k)^{n_k}$:

   • Некратни корени или корени с нечетна кратност ($n_k = 1, 3, 5, \dots$): При преминаване през точката $x_k$ функцията ПРОМЕНЯ знака си.

   • Корени с четна кратност ($n_k = 2, 4, 6, \dots$): При преминаване през точката $x_k$ функцията ЗАПАЗВА знака си (получава се т.нар. „примка“ или повторение на знака).

4. Нанасяне върху числовата права и определяне на знаците:

   • Нанасят се всички нули на числителя и знаменателя върху числовата права.

   • Важно за точките: При нестроги неравенства ($\le, \ge$) нулите на числителя се нанасят с плътни точки (включват се), а нулите на знаменателя — винаги с празни (отворени) точки.

   • Най-десният интервал (за $x > \max(x_k)$) има знак plus (+), при условие че всички множители са канонизирани с положителен коефициент пред $x$ (т.е. $(x – x_k)$, а не $(x_k – x)$).

   • Редуват се знаците от дясно на ляво, спазвайки правилото за кратност.

5. Записване на отговора:

   Избират се интервалите със съответния знак ($+$ за $> 0$, $-$ за $< 0$) и се записва крайното обединение.

2. Метод на интервалите при неравенства с Модули

При наличие на абсолютни стойности (модули) $\vert{}f(x)\vert{}$ в дробно-рационални изрази се използват два основни подхода:

Подход А: Обобщен метод на интервалите (Метод на знаците)

Това е най-директният метод, когато модулите са няколко или са поставени вътре в сложни алгебрични изрази.

1. Намират се анулиращите стойности (анулиращи нули) на всички модулни изрази (точките, в които $f(x) = 0$).

2. Числовата права се разделя на подинтервали от тези анулиращи стойности.

3. Разкриване на модулите по дефиниция във всеки интервал:

   $$\vert{}f(x)\vert{} = \begin{cases} f(x), & \text{ако } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{ако } f(x) < 0 \end{cases}$$

4. Неравенството се решава отделно за всеки интервал като стандартно дробно-рационално неравенство.

5. Засечка: Намерените решения за даден интервал се засичат със самия интервал.

6. Обединение: Крайният отговор е обединение от решенията във всички разгледани интервали.

Подход Б: Тъждествени преобразувания и свойства на модула

Когато неравенството има специфична структура, се използват бързи правила:

• За неравенства от вида $\vert{}f(x)\vert{} \le g(x)$:

  $$\begin{cases} f(x) \le g(x) \\ f(x) \ge -g(x) \end{cases} \iff -g(x) \le f(x) \le g(x)$$

• За неравенства от вида $\vert{}f(x)\vert{} \ge g(x)$:

  $$\left[ \begin{array}{l} f(x) \ge g(x) \\ f(x) \le -g(x) \end{array} \right.$$

• За неравенства от вида $\vert{}f(x)\vert{} \le \vert{}g(x)\vert{}$ (Повдигане на квадрат):

  Тъй като двете страни са неотрицателни:

  $$\vert{}f(x)\vert{}^2 \le \vert{}g(x)\vert{}^2 \iff f^2(x) – g^2(x) \le 0 \iff [f(x) – g(x)][f(x) + g(x)] \le 0$$

  След това полученото произведение се решава директно със стандартния Метод на интервалите!

3. Практически изпитен пример (Комбиниран тип)

Задача: Да се реше неравенството:

$$\frac{(x^2 – 4)\vert{}x – 1\vert{}}{x^2 – 3x + 2} \le 0$$

Решение:

1. Разлагане на множители и определяне на ДС:

   • Числител: $x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$

   • Знаменател: $x^2 – 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

   • ДС: $x^2 – 3x + 2 \neq 0 \iff x \neq 1$ и $x \neq 2$.

2. Записване на израза:

   $$\frac{(x-2)(x+2)\vert{}x-1\vert{}}{(x-1)(x-2)} \le 0$$

3. Съкращаване при $x \in \text{ДС}$ ($x \neq 2$):

   При $x \neq 2$ множителят $(x-2)$ се съкращава, но $x=2$ остава забранена стойност!

   $$\frac{(x+2)\vert{}x-1\vert{}}{x-1} \le 0$$

4. Анализ на знака чрез свойствата на модула:

   За $x \neq 1$, знаем че $\vert{}x-1\vert{} > 0$. Тъй като той е строго положителен, можем да разделим на него, без да променяме знака:

   $$\frac{x+2}{x-1} \le 0 \quad \text{при } x \neq 1, x \neq 2$$

5. Прилагане метода на интервалите за $\frac{x+2}{x-1} \le 0$:

   • Нула на числителя: $x = -2$ (плътна точка, включва се).

   • Нула на знаменателя: $x = 1$ (празна точка, ДС).

   • Нанасяне върху числовата права: интервалите са $(-\infty, -2]$, $[-2, 1)$, $(1, +\infty)$.

   • Знаци: $+$ в $(1, +\infty)$, $-$ в $[-2, 1)$, $+$ в $(-\infty, -2]$.

6. Избиране на отрицателния интервал и съобразяване с ДС:

   • От метода получаваме $x \in [-2, 1)$.

   • Проверяваме ДС: $x \neq 1$ (вече е отворена граница) и $x \neq 2$ (извън интервала).

Краен отговор: $x \in [-2, 1)$.