Разликата между Дефиниционна област и Допустими стойност

И има ли смисъл?

Критерий	Дефиниционна област (Df / ДМ)	Допустими стойности (ДС)
Къде се използва	При функции ( $y = f(x)$ )	При алгебрични изрази, уравнения и неравенства
Какво описва	Множеството от всички стойности на аргумента $x$ , за които функцията е определена и има смисъл.	Множеството от всички стойности на неизвестното $x$ , при които всички изрази в задачата имат смисъл.
Допълнително условие	Може да бъде изкуствено ограничена в условието на задачата (напр. „Разгледайте функцията в интервала $x \in [0; 2]$ “).	Определя се само от математическите забрани (деление на 0, корен от отрицателно число и др.), освен ако в условието не е зададено друго (напр. $x > 0$ ).

В 11. клас (при корен

n

-ти, степенни и показателни функции) и двете множества се намират по едни и същи правила:

Знаменател $\ne 0$ : $\frac{1}{g(x)} \implies g(x) \ne 0$ .
Четен корен $\ge 0$ : $\sqrt[2k]{g(x)} \implies g(x) \ge 0$ (за нечетен корен $\sqrt[2k+1]{g(x)}$ няма ограничение).
Показателен израз с променлива основа: $(h(x))^{f(x)} \implies h(x) > 0$ .

Пример с функция (Дефиниционна област):
- Задача: „Намерете най-малката стойност на функцията $f(x) = \sqrt{x - 1}$ в интервала $x \in [2; 5]$ .“
- Естествената дефиниционна област на израза е $x \ge 1$ , но дефиниционната област на функцията в тази задача е зададеният интервал $D_f = [2; 5]$ .
Пример с уравнение (Допустими стойности):
- Задача: „Решете уравнението $\sqrt{x - 1} = x - 3$ .“
- Тук нямаме функция, затова в началото записваме ДС: $x - 1 \ge 0 \implies x \in [1; +\infty)$ . Всички намерени корени накрая се проверяват дали попадат в ДС (коренът $x = 2$ отпада не заради ДС, а защото при проверка дава $1 = -1$ , докато $x = 5$ е решение).