Производна на функция

Производната ни позволява да изследваме скоростта на промяна на дадена функция и да определяме нейния характер (къде расте, къде намалява и къде достига своите най-големи и най-малки стойности).

1. Какво е производна?

Геометрично, производната

f'(x)

на една функция

y = f(x)

в дадена точка

x_0

представлява ъгловият коефициент (наклонът) на тангентата към графиката на функцията в тази точка:

k = \tan \alpha = f'(x_0)

Ако $f'(x) > 0$ в даден интервал $\implies$ функцията е строго растяща ( $\uparrow$ ).
Ако $f'(x) < 0$ в даден интервал $\implies$ функцията е строго намаляваща ( $\downarrow$ ).
Ако $f'(x) = 0$ в дадена точка $\implies$ тангентата е хоризонтална (успоредна на оста $Ox$ ).

2. Основни формули за производни

Функция f(x)	Производна f′(x)
Константа $c$	$(c)' = 0$
Степенна $x^n$	$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Корен $\sqrt{x}$	$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Показателна $e^x$ / $a^x$	$(e^x)' = e^x \quad \mid \quad (a^x)' = a^x \cdot \ln a$
Логаритмична $\ln x$ / $\log_a x$	$(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad \mid \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Правила за диференциране:

Умножение с константа: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$
Сума / Разлика: $(f \pm g)' = f' \pm g'$
Произведение: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
Частно: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

3. Критични (стационарни) точки и локални екстремуми

А. Какво е критична точка?

Точка

x_0

от дефиниционната област на функцията се нарича критична (или стационарна) точка, ако първата производна в нея е равна на нула или не съществува:

f'(x_0) = 0

Важно (Теорема на Ферма): Локален екстремум (минимум или максимум) може да се достигне само в критична точка (или в краищата на дефиниционния интервал).

Б. О определяне на локален минимум и максимум (Първи признак)

Изследваме знака на първата производна

f'(x)

около критичната точка

x_0

Локален максимум (Лок. Макс):
- Ако около $x_0$ производната сменя знака си от положителен към отрицателен ( $+ \to -$ ):
- Функция преминава от растяща към намаляваща $\implies$ в $x_0$ има локален максимум.
Локален минимум (Лок. Мин):
- Ако около $x_0$ производната сменя знака си от отрицателен към положителен ( $- \to +$ ):
- Функция преминава от намаляваща към растяща $\implies$ в $x_0$ има локален минимум.
Няма екстремум:
- Ако производната не сменя знака си от двете страни на $x_0$ (напр. $+ \to +$ ), точката е критична, но в нея няма локален екстремум (напр. при $y = x^3$ в $x=0$ ).

4. Намиране на НМС и НГС в затворен интервал $[a; b]$

Когато се търси Най-малка стойност (НМС) и Най-голяма стойност (НГС) на непрекъсната функция в затворен интервал

[a; b]

(както беше в Задача 12 от предишната група):

Стъпка 1: Намираме производната $f'(x)$ .
Стъпка 2: Намираме критичните точки от уравнението $f'(x) = 0$ .
Стъпка 3: Подбираме само тези критични точки, които попадат вътре в интервала $[a; b]$ .
Стъпка 4: Пресмятаме стойностите на функцията $f(x)$ :
- Във всички избрани критични точки;
- В двата края на интервала — $f(a)$ и $f(b)$ .
Стъпка 5: Най-голямото от получените числа е НГС, а най-малкото е НМС.

Пример 1: Намиране на локални екстремуми (минимум и максимум)

Условие: Намерете критичните точки и локалните екстремуми на функцията:

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$
Решение:
1. Намираме първата производна:
  
  $f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 2)' = 3x^2 - 12x + 9$
2. Анулираме производната, за да намерим критичните точки:
  
  $3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0$
  
  Критичните точки са $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$ .
3. Определяме знака на $f'(x)$ в интервалите (квадратна парабола, обърната нагоре):
  - За $x \in (-\infty; 1) \implies f'(x) > 0$ (функцията расте $\uparrow$ )
  - За $x \in (1; 3) \implies f'(x) < 0$ (функцията намалява $\downarrow$ )
  - За $x \in (3; +\infty) \implies f'(x) > 0$ (функцията расте $\uparrow$ )
4. Пресмятаме стойностите в екстремумите:
  - При $x = 1$ знакът се сменя от $+$ към $-$ $\implies$ локален максимум:
    
    $f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6$
  - При $x = 3$ знакът се сменя от $-$ към $+$ $\implies$ локален минимум:
    
    $f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$
Отговор: Локален максимум $\max f(x) = f(1) = 6$ ; Локален минимум $\min f(x) = f(3) = 2$ .

Пример 2: Тангента към графика на функция

Условие: Намерете уравнението на тангентата към графиката на функцията $f(x) = x^2 - 4x + 5$ в точката с абсциса $x_0 = 3$ .
Решение: Уравнението на тангентата в точка $(x_0, f(x_0))$ е:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$
1. Намираме ординатата на точката:
  
  $f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$
2. Намираме производната $f'(x)$ и ъгловия коефициент $k = f'(3)$ :
  
  $f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2(3) - 4 = 2$
3. Заместваме във формулата за тангента:
  
  $y - 2 = 2(x - 3) \implies y - 2 = 2x - 6 \implies y = 2x - 4$
Отговор: Уравнението на тангентата е $y = 2x - 4$ .

Пример 3: Изследване за интервали на монотонност с дробна функция

Условие: Намерете интервалите на растеж и намаляване на функцията $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$ .
Решение:
1. Дефиниционна область: $D: x \ne 2$ .
2. Намираме производната по правилото за частно $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ :
  
  $f'(x) = \frac{(x^2)'(x - 2) - x^2(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{2x(x - 2) - x^2 \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2}$
3. Намираме критичните точки ( $f'(x) = 0$ ):
  
  $\frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 4 \quad (\text{при } x \ne 2)$
4. Знаменателят $(x - 2)^2 > 0$ за всяко $x \ne 2$ , затова знакът на $f'(x)$ се определя от числителя $x(x - 4)$ :
  - $f'(x) > 0$ за $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) \implies$ функцията е строго растяща.
  - $f'(x) < 0$ за $x \in (0; 2) \cup (2; 4) \implies$ функцията е строго намаляваща.
Отговор: Растяща в $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$ ; намаляваща в $[0; 2) \cup (2; 4]$ .