7.45.Т Признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника.

Еднаквостта на правоъгълните триъгълници е специален случай в геометрията за 7. клас. Тъй като правият ъгъл (

\angle C = \angle C_1 = 90^\circ

) е постоянно известен, за доказване на еднаквост са необходими само 2 съответно равни елемента (вместо 3, както е при произволни триъгълници), стига поне един от тях да е страна.

Признаци за еднаквост на правоъгълни триъгълници

Признак по два катета (КК)
- Условие: $a = a_1$ и $b = b_1$ .
- Връзка с общите признаци: Това е частен случай на I признак (С-Ъ-С), тъй като ъгълът между катетите винаги е $90^\circ$ .
Признак по катет и остър ъгъл (КО)
- Условие: Катет и един остър ъгъл (прилежащ или срещулежащ) са съответно равни ( $a = a_1$ и $\alpha = \alpha_1$ ).
- Връзка с общите признаци: Частен случай на II признак (С-Ъ-Ъ / Ъ-С-Ъ).
Признак по хипотенуза и остър ъгъл (ХО)
- Условие: $c = c_1$ и $\alpha = \alpha_1$ .
- Връзка с общите признаци: Отново частен случай на II признак, тъй като от $\alpha = \alpha_1$ автоматично следва равенство и на втория остър ъгъл ( $\beta = 90^\circ - \alpha$ ).
IV признак: По катет и хипотенуза (КХ) — Специалният признак!
- Условие: Катет и хипотенуза от един правоъгълен триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от друг.
  
  $\text{Ако } a = a_1 \text{ и } c = c_1 \implies \Delta ABC \cong \Delta A_1 B_1 C_1$

Защо IV признак е толкова важен?

В общия случай признак за еднаквост по „две страни и ъгъл“ (С-С-Ъ) не съществува, ако ъгълът не е между страните.

Изключението (Основна теорема): Две страни и ъгъл, който не е заключен между тях, гарантират еднаквост само когато ъгълът лежи срещу по-голямата от двете страни.
Тъй като в правоъгълния триъгълник хипотенузата $c$ е най-голямата страна (лежи срещу най-големия ъгъл $90^\circ$ ), равенството на катет $a$ , хипотенуза $c$ и правия ъгъл срещу $c$ еднозначно определя триъгълника.

Основни геометрични архетипи и приложения

Свойство и признак на ъглополовящата:
- Свойство: Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от раменете на ъгъла. Доказва се с еднаквост на правоъгълните триъгълници по хипотенуза и остър ъгъл (ХО).
- Признак: Ако точка във вътрешността на ъгъл е на равни разстояния от раменете му, тя лежи на ъглополовящата. Доказва се чрез IV признак (КХ).
Равнобедрен триъгълник:
- Височините, спуснати към бедрата в равнобедрен триъгълник, са равни ( $h_a = h_b$ ). Доказателството използва еднаквост на правоъгълни триъгълници по хипотенуза и остър ъгъл (ХО).
Свойство на симетралата:
- Всяка точка от симетралата на отсечка е на равни разстояния от краищата ѝ. Образуваните два правоъгълни триъгълника са еднакви по два катета (КК).