7.44.Т Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник

Медианата към хипотенузата превръща правоъгълния триъгълник в два равнобедрени триъгълника.

Основни теореми

Пряка теорема: В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата.

$\text{За } \Delta ABC (\angle C = 90^\circ) \text{ с медиана } CD \implies CD = AD = BD = \frac{AB}{2}$
Обратна теорема (Признак за правоъгълен триъгълник): Ако в един триъгълник медианата към една от страните е равна на половината от тази страна, то триъгълникът е правоъгълен с прав ъгъл срещу тази страна.

$\text{За } \Delta ABC \text{ с медиана } CD \text{ към } AB: \text{ ако } CD = \frac{AB}{2} \implies \angle ACB = 90^\circ$

Ключови свойства и геометрични последици

Разлагане на два равнобедрени триъгълника: Медианата $CD$ разделя $\Delta ABC$ на два равнобедрени триъгълника с общ връх $D$ :
- $\Delta ADC$ с бедра $AD = CD \implies \angle DAC = \angle DCA = \alpha$
- $\Delta BCD$ с бедра $BD = CD \implies \angle DBC = \angle DCB = \beta$
Център на описаната окръжност: Средата на хипотенузата $D$ е на равни разстояния от трите върха ( $DA = DB = DC = R$ ). Точка $D$ е център на описаната около $\Delta ABC$ окръжност с радиус $R = \frac{AB}{2}$ .
Специален случай с ъгъл $30^\circ$ : Ако $\angle A = 30^\circ$ , то $\angle B = 60^\circ$ . В този случай равнобедреният $\Delta BCD$ има ъгъл $60^\circ$ при основата, което го прави равностранен ( $BC = CD = BD = \frac{AB}{2}$ ).

Класически архетипи задачи

Ъгли между забележителни отсечки от правия ъгъл:
- Между височина $CH$ и медиана $CD$ : $\angle HCD = \vert{}\beta - \alpha\vert{}$ (където $\alpha$ и $\beta$ са острите ъгли).
- Между ъглополовяща $CL$ и медиана $CD$ : Тъй като $CL$ дели правия ъгъл на $45^\circ$ , търсеният ъгъл е $\angle DCL = \vert{}45^\circ - \alpha\vert{}$ .
Задачи с построение: Често в правоъгълен триъгълник построяването на медианата $CD$ е ключовият допълнителен елемент, който прехвърля ъгли или отсечки от едната страна на чертежа към другата.
Доказване на перпендикулярност: Чрез обратната теорема — ако се докаже, че $CD = AD = BD$ , веднага следва $\angle ACB = 90^\circ$ .