Логаритъм: понятие, свойства и преобразувания 

Логаритъмът е математическа операция, която е обратна на степенуването. Той отговаря на въпроса на каква степен трябва да бъде повдигнато едно число (основа), за да се получи друго число (аргумент).

1. Дефиниция

• Логаритъмът на число $b$ при основа $a$ е степента $x$, на която трябва да повдигнем $a$, за да получим $b$.
  $$\log_a b = x \iff a^x = b$$

• Елементи:

  • основа ($a$): Числото, което се повдига на степен. Трябва да е положително ($a > 0$) и различно от 1 ($a \neq 1$).

  • аргумент/логаритмувано число ($b$): Числото, което се получава. Трябва да е положително ($b > 0$).

  • стойност на логаритъма ($x$): Самата степен.

• логаритмуване: Процесът на намиране на стойността на логаритъма ($\log_a b$).

• антилогаритмуване: Обратният процес на намиране на аргумента $b$ по дадена основа $a$ и стойност $x$. (Т.е. преминаване от $\log_a b = x$ към $b = a^x$).

• специални логаритми:

  • десетичен логаритъм ($\log b$ или $\lg b$): Логаритъм с основа 10.
    $$\log b = \log_{10} b$$
  • натурален логаритъм ($\ln b$): Логаритъм с основа $e$ (неперовото число, $e \approx 2.718$).
    $$\ln b = \log_e b$$

2. основни свойства на логаритмите

Тези свойства позволяват да се извършва логаритмуване на сложни изрази (произведение, частно, степен, корен) и са в основата на преобразуванията:

3. преобразуване на логаритми

Най-важното преобразуване е формулата за преминаване към нова основа:

• формула за смяна на основата:
  $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

  Тази формула позволява да се пресмята логаритъм с произволна основа $a$ чрез логаритми с по-удобна нова основа $c$ (напр. 10 или $e$), които често са налични на калкулаторите.

• частен случай (смяна на основата с аргумента):
  $$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

  Т.е. ако сменим местата на основата и аргумента, логаритъмът става реципрочен.

4. намиране на елементи на логаритъма

За да намерим липсващ елемент, използваме основната дефиниция: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

5. логаритмична функция

Логаритмичната функция е функцията, зададена с формулата $y = \log_a x$.

• дефиниционно множество: $x > 0$ (аргументът трябва да е положителен).

• множество от стойности: $y \in (-\infty, +\infty)$ (стойността може да е всяко реално число).

[Image of the graph of logarithmic function for a>1 and 0

• графика на логаритмичната функция:

  • Винаги минава през точката (1, 0) (защото $\log_a 1 = 0$).

  • Има вертикална асимптота по оста $y$ (при $x=0$).

  • монотонност (поведение на функцията):

    • Ако $a > 1$ (напр. $y = \log_2 x$), функцията е нарастваща. Колкото по-голямо е $x$, толкова по-голямо е $y$.

    • Ако $0 < a < 1$ (напр. $y = \log_{1/2} x$), функцията е намаляваща. Колкото по-голямо е $x$, толкова по-малко е $y$.

Примерни задачи

1. Намиране на стойност на логаритъм

Намерете стойността на $x$:

• задача а): $\log_3 81 = x$

  • решение: По дефиниция, $3^x = 81$. Тъй като $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$, то $\mathbf{x = 4}$.

• задача б): $\log_5 \frac{1}{25} = x$

  • решение: По дефиниция, $5^x = \frac{1}{25}$. Тъй като $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$, то $\mathbf{x = -2}$.

• задача в): $\log_{16} 4 = x$

  • решение: По дефиниция, $16^x = 4$. Тъй като $16 = 4^2$, заместваме: $(4^2)^x = 4^1$, или $4^{2x} = 4^1$. Следователно $2x = 1$, а $\mathbf{x = \frac{1}{2}}$. (Забележка: $\log_{16} 4 = \log_{16} \sqrt{16}$).

2. Прилагане на свойствата (логаритмуване)

Използвайте свойствата, за да разложите израза на сбор или разлика от по-прости логаритми:

• задача г): $\log_a \left( \frac{x^2 \cdot \sqrt{y}}{z^3} \right)$

  • стъпка 1 (частно): Използваме свойството за частно.
    $$\log_a (x^2 \cdot \sqrt{y}) – \log_a (z^3)$$
  • стъпка 2 (произведение): Използваме свойството за произведение.
    $$\log_a (x^2) + \log_a (\sqrt{y}) – \log_a (z^3)$$
  • стъпка 3 (степен и корен): Използваме свойствата за степен ($\log_a b^n = n \log_a b$) и корен ($\sqrt{y} = y^{1/2}$).
    $$\mathbf{2 \cdot \log_a x + \frac{1}{2} \cdot \log_a y – 3 \cdot \log_a z}$$

3. Преобразуване на логаритми (обратен процес)

Свийте израза в един-единствен логаритъм:

• задача д): $2 \cdot \log_5 a + \log_5 b – \frac{1}{3} \cdot \log_5 c$

  • стъпка 1 (коефициенти): Превръщаме коефициентите в степени на аргументите.
    $$\log_5 (a^2) + \log_5 b – \log_5 (c^{1/3})$$
  • стъпка 2 (корен): Превръщаме дробния показател в корен.
    $$\log_5 (a^2) + \log_5 b – \log_5 (\sqrt[3]{c})$$
  • стъпка 3 (сбор/разлика): Използваме свойствата за произведение (сбор) и частно (разлика).
    $$\log_5 (a^2 \cdot b) – \log_5 (\sqrt[3]{c})$$
    $$\mathbf{\log_5 \left( \frac{a^2 \cdot b}{\sqrt[3]{c}} \right)}$$

4. Смяна на основата

Пресметнете $\log_4 64$. (Въпреки че може да се реши и по дефиниция, ще използваме смяна на основата за илюстрация.)

• задача е): Използвайте $\log_4 64 = \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4}$ (смяна към десетичен логаритъм).

  • Знаем, че $64 = 4^3$.

  • $\log_4 64 = x \implies 4^x = 64 \implies x = 3$.

  • Прилагаме формулата:
    $$\log_4 64 = \frac{\log 64}{\log 4} = \frac{\log (4^3)}{\log 4}$$
    $$\log_4 64 = \frac{3 \cdot \log 4}{\log 4} = \mathbf{3}$$

5. Намиране на основа или аргумент

Намерете липсващия елемент $a$ или $b$:

• задача ж): $\log_{a} 49 = 2$ (намиране на основата)

  • решение: По дефиниция, $a^2 = 49$. Тъй като основата трябва да е положителна, $\mathbf{a = 7}$.

• задача з): $\log_6 b = 0$ (намиране на аргумента)

  • решение: По дефиниция, $b = 6^0$. Тъй като всяко число, повдигнато на нулева степен, е 1, то $\mathbf{b = 1}$.

Разбирам. Ето същите 10 въпроса, подредени като задачи с подробно решение, вместо като интерактивен тест.

10 задачи за логаритмични уравнения с решения

1. основна дефиниция

Задача: Решете уравнението $\log_2 (3x – 2) = 4$.

Решение:

1. Д.С. (Допустими стойности): Аргументът на логаритъма трябва да е положителен: $3x – 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.

2. Прилагане на дефиницията: Преминаваме от логаритмична към степенна форма: $3x – 2 = 2^4$.

3. Решаване на линейното уравнение:
   $$3x – 2 = 16$$
   $$3x = 18$$
   $$\mathbf{x = 6}$$

4. Проверка: $x=6$ е по-голямо от $\frac{2}{3}$, следователно е решение.

2. намиране на основата

Задача: Намерете основата $a$, ако $\log_a 125 = 3$.

Решение:

1. Д.С. (Основа): $a > 0$ и $a \neq 1$.

2. Прилагане на дефиницията: $a^3 = 125$.

3. Решаване: Търсим кое число, повдигнато на трета степен, дава 125:
   $$a = \sqrt[3]{125}$$
   $$\mathbf{a = 5}$$

4. Проверка: $a=5$ удовлетворява Д.С.

3. свойство за произведение

Задача: Решете уравнението $\log_3 x + \log_3 (x – 2) = 1$.

Решение:

1. Д.С.: $x > 0$ и $x – 2 > 0$. Следователно $\mathbf{x > 2}$.

2. Свиване (Произведение): $\log_3 (x \cdot (x – 2)) = 1$.

3. Прилагане на дефиницията: $x^2 – 2x = 3^1$.

4. Решаване на квадратното уравнение:
   $$x^2 – 2x – 3 = 0$$

    

   Корените са $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

5. Проверка на Д.С.:

   • $x_1 = 3$ е допустим ($3 > 2$).

   • $x_2 = -1$ не е допустим (не е по-голям от 2).
     $$\mathbf{x = 3}$$

4. свойство за частно

Задача: Решете уравнението $\log_4 (x+6) – \log_4 x = 2$.

Решение:

1. Д.С.: $x+6 > 0$ и $x > 0$. Следователно $\mathbf{x > 0}$.

2. Свиване (Частно): $\log_4 \left( \frac{x+6}{x} \right) = 2$.

3. Прилагане на дефиницията: $\frac{x+6}{x} = 4^2 = 16$.

4. Решаване на линейното уравнение:
   $$x + 6 = 16x$$
   $$6 = 15x$$
   $$x = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$
5. Проверка: $x = \frac{2}{5}$ е по-голямо от 0, следователно е решение.
   $$\mathbf{x = \frac{2}{5} \text{ (или } 0.4 \text{)}}$$

5. свойство за степен

Задача: Решете уравнението $2 \cdot \log_5 x = \log_5 9$.

Решение:

1. Д.С.: $\mathbf{x > 0}$.

2. Преобразуване (Степен): Преместваме коефициента 2 като степен на аргумента: $\log_5 (x^2) = \log_5 9$.

3. Приравняване на аргументите: Тъй като логаритмите са с еднаква основа: $x^2 = 9$.

4. Решаване: $x = \pm 3$.

5. Проверка на Д.С.: Само положителният корен е допустим.
   $$\mathbf{x = 3}$$

6. квадратно уравнение чрез субституция

Задача: Решете уравнението $\log_2^2 x – 3 \cdot \log_2 x + 2 = 0$.

Решение:

1. Д.С.: $\mathbf{x > 0}$.

2. Субституция: Полагаме $y = \log_2 x$.
   $$y^2 – 3y + 2 = 0$$

3. Решаване на квадратното уравнение за $y$: Корените са $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$ (по формулите на Виет: $1+2=3, 1 \cdot 2=2$).

4. Обратна субституция за $x$:

   • Случай 1: $y_1 = 1 \implies \log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

   • Случай 2: $y_2 = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x_2 = 2^2 = 4$.

5. Проверка: И двете решения са положителни.
   $$\mathbf{x_1 = 2 \text{, } x_2 = 4}$$

7. уравнение с проверка на д.с.

Задача: Решете уравнението $\ln (x^2 – 4) – \ln (x – 2) = \ln 5$.

Решение:

1. Д.С.: $x^2 – 4 > 0$ и $x – 2 > 0$. Второто условие ($x > 2$) покрива първото, следователно $\mathbf{x > 2}$.

2. Свиване (Частно): $\ln \left( \frac{x^2 – 4}{x – 2} \right) = \ln 5$.

3. Разлагане: Използваме формулата за разлика на квадрати ($x^2-4 = (x-2)(x+2)$).
   $$\ln \left( \frac{(x-2)(x+2)}{x – 2} \right) = \ln 5$$

    

   Тъй като $x \neq 2$ (от Д.С.), съкращаваме: $\ln (x + 2) = \ln 5$.

4. Приравняване на аргументите: $x + 2 = 5$.
   $$x = 3$$
5. Проверка: $x=3$ е по-голямо от 2, следователно е решение.
   $$\mathbf{x = 3}$$

8. смяна на основата

Задача: Решете уравнението $\log_2 x + \log_4 x = 6$.

Решение:

1. Д.С.: $\mathbf{x > 0}$.

2. Смяна на основата: Преобразуваме втория логаритъм към основа 2 (защото $4 = 2^2$):
   $$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$$
3. Заместване в уравнението:
   $$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 6$$
4. Решаване: Умножаваме по 2, за да премахнем знаменателя:
   $$2 \cdot \log_2 x + \log_2 x = 12$$
   $$3 \cdot \log_2 x = 12$$
   $$\log_2 x = 4$$
5. Прилагане на дефиницията: $x = 2^4$.
   $$\mathbf{x = 16}$$

9. приравняване на аргументи

Задача: Решете уравнението $\log_2 (x^2 – 3x + 4) = \log_2 (2x – 2)$.

Решение:

1. Д.С.: Необходимо е $2x – 2 > 0 \implies \mathbf{x > 1}$. (Аргументът $x^2 – 3x + 4$ винаги е положителен, тъй като дискриминантата му е отрицателна.)

2. Приравняване на аргументите:
   $$x^2 – 3x + 4 = 2x – 2$$
3. Решаване на квадратното уравнение:
   $$x^2 – 5x + 6 = 0$$

    

   Корените са $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$ (по формулите на Виет: $2+3=5, 2 \cdot 3=6$).

4. Проверка на Д.С.: И двата корена са по-големи от 1, следователно са решения.
   $$\mathbf{x_1 = 2 \text{, } x_2 = 3}$$

10. основно логаритмично тъждество

Задача: Решете уравнението $5^{\log_5 (x-4)} = 7$.

Решение:

1. Д.С.: $x – 4 > 0 \implies \mathbf{x > 4}$.

2. Прилагане на тъждеството: Използваме, че $a^{\log_a b} = b$. В нашия случай $a=5$ и $b=x-4$:
   $$x – 4 = 7$$
3. Решаване:
   $$x = 7 + 4$$
   $$\mathbf{x = 11}$$

4. Проверка: $x=11$ е по-голямо от 4, следователно е решение.

Разбира се! Ето списък от 20 по-сложни логаритмични уравнения и неравенства, които изискват прилагане на комбинация от свойства, смяна на основата, субституции и внимателна проверка на допустимите стойности (Д.С.).

Използвам $\mathbf{\lg}$ за десетичен логаритъм ($\log_{10}$) и $\mathbf{\ln}$ за натурален логаритъм ($\log_e$).

i. уравнения, изискващи свойства и д.с.

1. $\log_2 (x+1) + \log_2 (x-1) = 3$

2. $\lg(3x – 1) – \lg(x + 1) = \lg 2$

3. $\log_2^2 x + \log_2 (x^2) – 3 = 0$

4. $\ln (x+2) + \ln (x-3) = \ln (6x-18)$

5. $2 \log_3 x = \log_3 (x+6)$

ii. уравнения със смяна на основата и реципрочна връзка

6. $\log_3 x + \log_{x} 9 = 3$

7. $\log_4 x + \log_{16} x = 3$

8. $\frac{1}{\log_x 2} + \frac{1}{\log_4 x} = 3$

9. $\log_x 8 – \log_{4x} 8 + 1 = 0$

10. $\log_{25} (4x-3) = \log_5 (x-1)$

iii. уравнения, които се свеждат до степенни

11. $x^{\lg x} = 100x$

12. $x^{\log_3 x} = 9x^2$

13. $(\sqrt{x})^{\log_2 x} = x^2$

14. $\log_x (9x^2) \cdot \log_3^2 x = 4$

15. $x^{1 + \log_4 x} = 64$

iv. логаритмични неравенства (изискват анализ на базата)

При решаването на неравенства е критично да се знае дали основата $a$ е $\mathbf{a > 1}$ (нарастваща функция, запазва посоката на неравенството) или $\mathbf{0 < a < 1}$ (намаляваща функция, обръща посоката).

16. $\log_2 (x^2 – 3x) \le 2$

17. $\log_{\frac{1}{3}} (2x – 1) > -1$

18. $\log_4 x \le \log_2 3$ (Изисква смяна на основата)

19. $\log_{\frac{1}{2}} (x^2 – 5x + 6) > -1$

20. $\log_x (x+2) < 2$ (Изисква разглеждане на два случая за основата $x$: $0 < x < 1$ и $x > 1$)