Логаритъм: понятие и свойства, задачи - Школа по математика София-Мат

Логаритъмът е математическа операция, която е обратна на степенуването. Той отговаря на въпроса на каква степен трябва да бъде повдигнато едно число (основа), за да се получи друго число (аргумент).

1. Дефиниция

Логаритъмът на число $b$ при основа $a$ е степента $x$, на която трябва да повдигнем $a$, за да получим $b$.
$\log_a b = x \iff a^x = b$

Елементи:

- основа ( $a$ ): Числото, което се повдига на степен. Трябва да е положително ( $a > 0$ ) и различно от 1 ( $a \neq 1$ ).
- аргумент/логаритмувано число ( $b$ ): Числото, което се получава. Трябва да е положително ( $b > 0$ ).
- стойност на логаритъма ( $x$ ): Самата степен.
Логаритмуване: Процесът на намиране на стойността на логаритъма ( $\log_a b$ ).
Антилогаритмуване: Обратният процес на намиране на аргумента $b$ по дадена основа $a$ и стойност $x$ . (Т.е. преминаване от $\log_a b = x$ към $b = a^x$ ).
Специални логаритми:
- десетичен логаритъм ($\log b$ или $\lg b$): Логаритъм с основа 10.
  $\log b = \log_{10} b$
- натурален логаритъм ($\ln b$): Логаритъм с основа $e$ (неперовото число, $e \approx 2.718$).
  $\ln b = \log_e b$ $\ln b = \log_e b$

2. Основни свойства

Тези свойства позволяват да се извършва логаритмуване на сложни изрази (произведение, частно, степен, корен) и са в основата на преобразуванията:

Свойство	Формула	Описание
основно логаритмично тъждество	$a^{\log_a b} = b$	Ако повдигнем основата на степен, равна на логаритъма ѝ, резултатът е аргументът.
логаритъм на основата	$\log_a a = 1$	Логаритъмът на основата е винаги 1.
логаритъм на 1	$\log_a 1 = 0$	Логаритъмът на 1 е винаги 0.
логаритъм на произведение	$\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$	Логаритъмът на произведение е сбор от логаритмите.
логаритъм на частно	$\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$	Логаритъмът на частно е разлика от логаритмите.
логаритъм на степен	$\log_a (b^n) = n \cdot \log_a b$	Логаритъмът на степен е степенният показател, умножен по логаритъма на основата.
логаритъм на корен	$\log_a (\sqrt[n]{b}) = \frac{1}{n} \cdot \log_a b$	Логаритъмът на корен е логаритъмът на подкоренната величина, разделен на коренния показател ( $b^{1/n}$ ).

3. Преобразуване на логаритми

Най-важното преобразуване е формулата за преминаване към нова основа:

Формула за смяна на основата:
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Тази формула позволява да се пресмята логаритъм с произволна основа $a$ чрез логаритми с по-удобна нова основа $c$ (напр. 10 или $e$), които често са налични на калкулаторите.
Частен случай (смяна на основата с аргумента):
$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Т.е. ако сменим местата на основата и аргумента, логаритъмът става реципрочен.

4. Намиране на елементи на логаритъма

За да намерим липсващ елемент, използваме основната дефиниция: $\log_a b = x \iff a^x = b$ .

Търсен елемент	Пример	Начин на намиране
стойност ( $x$ )	$\log_2 8 = x \implies 2^x = 8$ .	$2^3 = 8$ , следователно $\mathbf{x = 3}$ .
основа ( $a$ )	$\log_a 16 = 2 \implies a^2 = 16$ .	$\sqrt{16} = 4$ , следователно $\mathbf{a = 4}$ (защото $a>0$ ).
аргумент ( $b$ )	$\log_3 b = 4 \implies b = 3^4$ .	$3^4 = 81$ , следователно $\mathbf{b = 81}$ .

5. Логаритмична функция

Логаритмичната функция е функцията, зададена с формулата $y = \log_a x$ .

Дефиниционно множество: $x > 0$ (аргументът трябва да е положителен).
Множество от стойности: $y \in (-\infty, +\infty)$ (стойността може да е всяко реално число).
Графика на логаритмичната функция:

Графиката на функцията ¹ $y = \log_a x$ е обратната функция на експоненциалната функция ² $y = a^x$ .³ Поради това, графиката на логаритмичната функция е огледален образ на експоненциалната функция спрямо правата $y = x$ . Винаги минава през точката (1, 0) (защото $\log_a 1 = 0$ ).

Има вертикална асимптота по оста $y$ (при $x=0$ ). Това означава, че графиката на функцията се доближава неограничено до вертикалната права $x=0$ (което е самата ос $y$ ), но никога не я достига и не я пресича.

Монотонност (поведение на функцията):

- - Ако $a > 1$ (напр. $y = \log_2 x$ ), функцията е нарастваща. Колкото по-голямо е $x$ , толкова по-голямо е $y$ .
  - Ако $0 < a < 1$ (напр. $y = \log_{1/2} x$ ), функцията е намаляваща. Колкото по-голямо е $x$ , толкова по-малко е $y$ .

Примерни задачи

1. Намиране на стойност на логаритъм

Намерете стойността на $x$ :

а): $\log_3 81 = x$

- По дефиниция, $3^x = 81$ . Тъй като $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$ , то $\mathbf{x = 4}$ .

б): $\log_5 \frac{1}{25} = x$

- По дефиниция, $5^x = \frac{1}{25}$ . Тъй като $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ , то $\mathbf{x = -2}$ .

в): $\log_{16} 4 = x$

- По дефиниция, $16^x = 4$ . Тъй като $16 = 4^2$ , заместваме: $(4^2)^x = 4^1$ , или $4^{2x} = 4^1$ . Следователно $2x = 1$ , а $\mathbf{x = \frac{1}{2}}$ . (Забележка: $\log_{16} 4 = \log_{16} \sqrt{16}$ ).

2. Прилагане на свойствата (логаритмуване)

Използвайте свойствата, за да разложите израза на сбор или разлика от по-прости логаритми:

г): $\log_a \left( \frac{x^2 \cdot \sqrt{y}}{z^3} \right)$

- стъпка 1 (частно): Използваме свойството за частно.
  $\log_a (x^2 \cdot \sqrt{y}) - \log_a (z^3)$
- стъпка 2 (произведение): Използваме свойството за произведение.
  $\log_a (x^2) + \log_a (\sqrt{y}) - \log_a (z^3)$
- стъпка 3 (степен и корен): Използваме свойствата за степен ($\log_a b^n = n \log_a b$) и корен ($\sqrt{y} = y^{1/2}$).
  $\mathbf{2 \cdot \log_a x + \frac{1}{2} \cdot \log_a y - 3 \cdot \log_a z}$

3. Преобразуване на логаритми (обратен процес)

Свийте израза в един логаритъм:

д): $2 \cdot \log_5 a + \log_5 b - \frac{1}{3} \cdot \log_5 c$

- стъпка 1 (коефициенти): Превръщаме коефициентите в степени на аргументите.
  $\log_5 (a^2) + \log_5 b - \log_5 (c^{1/3})$
- стъпка 2 (корен): Превръщаме дробния показател в корен.
  $\log_5 (a^2) + \log_5 b - \log_5 (\sqrt[3]{c})$
- стъпка 3 (сбор/разлика): Използваме свойствата за произведение (сбор) и частно (разлика).
  $\log_5 (a^2 \cdot b) - \log_5 (\sqrt[3]{c})$
  
  $\mathbf{\log_5 \left( \frac{a^2 \cdot b}{\sqrt[3]{c}} \right)}$

Задачи за логаритмични уравнения

Решете уравненията:

$\log_2 (3x - 2) = 4$ .
$\log_3 x + \log_3 (x - 2) = 1$ .
$\log_4 (x+6) - \log_4 x = 2$ .
$2 \cdot \log_5 x = \log_5 9$ .
$\log_2^2 x - 3 \cdot \log_2 x + 2 = 0$ .
$\ln (x^2 - 4) - \ln (x - 2) = \ln 5$ .
$\log_2 x + \log_4 x = 6$ .
$\log_2 (x^2 - 3x + 4) = \log_2 (2x - 2)$ .
$5^{\log_5 (x-4)} = 7$ .

Ниво 2:

$\log_2 (x+1) + \log_2 (x-1) = 3$
$\lg(3x - 1) - \lg(x + 1) = \lg 2$
$\log_2^2 x + \log_2 (x^2) - 3 = 0$
$\ln (x+2) + \ln (x-3) = \ln (6x-18)$
$2 \log_3 x = \log_3 (x+6)$
$\log_3 x + \log_{x} 9 = 3$
$\log_4 x + \log_{16} x = 3$
$\frac{1}{\log_x 2} + \frac{1}{\log_4 x} = 3$
$\log_x 8 - \log_{4x} 8 + 1 = 0$
$\log_{25} (4x-3) = \log_5 (x-1)$
$x^{\lg x} = 100x$
$x^{\log_3 x} = 9x^2$
$(\sqrt{x})^{\log_2 x} = x^2$
$\log_x (9x^2) \cdot \log_3^2 x = 4$
$x^{1 + \log_4 x} = 64$

При решаването на неравенства е критично да се знае дали основата $a$ е $\mathbf{a > 1}$ (нарастваща функция, запазва посоката на неравенството) или $\mathbf{0 < a < 1}$ (намаляваща функция, обръща посоката).

$\log_2 (x^2 - 3x) \le 2$
$\log_{\frac{1}{3}} (2x - 1) > -1$
$\log_4 x \le \log_2 3$ (Изисква смяна на основата)
$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 5x + 6) > -1$
$\log_x (x+2) < 2$ (Изисква разглеждане на два случая за основата $x$ : $0 < x < 1$ и $x > 1$ )