Въпроси и задачи за функции - Школа по математика София-Мат

I. Дефиниция и линейна функция

Какво представлява числова функция и какво е нейното дефиниционно множество (ДМ)?
Какви са трите основни начина за задаване на една функция?
Дадена е функцията $f (x) = 3 x - 5$ . Намерете функционалната стойност $f (4)$ и стойността на аргумента $x$ , за която $f (x) = 10$ .
Кога една функция се нарича растяща и кога намаляваща?
Коя функция се нарича линейна и как изглежда нейният аналитичен израз?
Какво представлява графиката на линейната функция $y = a x + b$ ?
Как се определя дали една линейна функция е растяща или намаляваща?
Каква е ролята на параметъра $b$ в графиката на линейната функция $y = a x + b$ ?
Установете принадлежност: Точката $M (2, 7)$ лежи ли на графиката на функцията $y = 5 x - 3$ ? Обосновете отговора си.
Коя е графиката на функцията $y = - 2 x$ ? Какво е нейното взаимно разположение спрямо координатната система?

II. Квадратна функция (Парабола)

Какъв е аналитичният израз на квадратна функция и какво е нейното дефиниционно множество?
Как се нарича графиката на квадратната функция и каква е нейната форма?
Как се определя дали клоните на параболата са насочени нагоре или надолу?
Как се намира абсцисата на върха на параболата $y = a x^^{2} + b x + c$ ? Запишете формулата.
Как се намира ординатата на върха на параболата?
Какво представлява ос на симетрия на параболата и каква е нейната формула?
Как се намират пресечните точки на графиката на квадратната функция с ос Ox? С колко точки може да се пресича?
Как се намира пресечната точка на графиката на квадратната функция с ос Oy?
Постройте графиката на функцията $y = x^^{2}$ . Как се променя тя, ако функцията стане $y = x^{2} + 3$ ?
Какво е геометричното представяне на решенията на квадратното уравнение $a x^^{2} + b x + c = 0$ ?

III. Свойства и графики

Как се определя монотонността (растяща/намаляваща) на квадратната функция, използвайки върха на параболата?
Кога квадратната функция $y = a x^^{2} + b x + c$ има най-малка стойност и кога най-голяма стойност?
Намерете най-голямата/най-малката стойност на функцията $f (x) = x^^{2} - 4 x + 1$ и стойността на аргумента, за която се достига.
Каква е връзката между дискриминантата ( $D$ ) на квадратното уравнение и броя на пресечните точки на параболата с абсцисната ос?
Обяснете как може да се използва графиката на квадратната функция за решаване на квадратно неравенство (напр. $a x^^{2} + b x + c > 0$ ).
Начертайте примерна графика на функция, която е намаляваща в интервала $(- \infty, 1]$ и растяща в интервала $[1, \infty)$ .
Може ли една функция да има повече от един връх? Обосновете.
Как може да се използва методът на заместването при намиране на функционална стойност? Дайте пример.
Какво представлява моделиране с квадратна функция? Дайте пример за практическа задача, която може да се моделира по този начин.
С кои други учебни предмети (според програмата) има междупредметни връзки темата за функциите и защо? (Помислете за физика, химия, икономика).

Задачи:

I.

Тези задачи изискват директно прилагане на формули и основни знания за линейни и квадратни функции.

Дадена е функцията $f (x) = 2 x^^{2} - 5 x + 3$ . Намерете функционалната стойност $f (- 1)$ и определете дали точката $M (2, 1)$ лежи на графиката на функцията.
Намерете върха на параболата, зададена с уравнението $y = - x^^{2} + 6 x - 8$ , и определете дали тя има най-голяма или най-малка стойност.
Намерете пресечните точки на графиката на функцията $y = x^^{2} - x - 6$ с координатните оси $O x$ и $O y$ .
Постройте графиката на функцията $y = -1/2. x + 2$ . Определете дали функцията е растяща или намаляваща.
Намерете оста на симетрия на параболата $y = 3 x^^{2} - 12 x + 7$ .
Дадена е функцията $f (x) = 4 x - 1$ . Намерете стойността на аргумента $x$ , за която $f (x) = 15$ .
Определете дефиниционното множество (ДМ) на функцията $f (x) =sq.root(2 x - 6)$ .
Колко на брой пресечни точки има параболата $y = x^^{2} - 3 x + 5$ с оста $O x$ ? Обосновете отговора си чрез дискриминантата.
Намерете квадратната функция, чиято графика е парабола с връх $V (0, 5)$ и минава през точката $A (1, 7)$ .
Определете в кои интервали е намаляваща и в кои растяща функцията $f (x) = 2 x^^{2} + 8 x - 1$ .

II.

Тези задачи изискват комбиниране на няколко стъпки, анализ на параметри или решаване на квадратни неравенства.

Намерете най-малката стойност на функцията $f (x) = 3 x^^{2} + 2 x - 4$ в интервала $[- 2, 1]$ .
Дадена е функцията $f (x) = x^^{2} + (k - 1) x + 4$ . Намерете стойностите на параметъра $k$ , за които графиката на функцията допира оста $O x$ .
Намерете пресечните точки на графиките на функциите $f (x) = x^^{2} - 3 x + 1$ и $g (x) = x - 2$ .
Определете за кои стойности на $x$ функцията $f (x) = - x^^{2} + 2 x + 8$ приема положителни стойности ( $f (x) > 0$ ).
Докажете, че функцията $f (x) = - 2 x^^{2} + 8 x - 10$ няма положителни стойности за никое реално $x$ .
Моделиране: Височината $h$ (в метри) на хвърлена топка във времето $t$ (в секунди) се описва с функцията $h (t) = - 5 t^^{2} + 20 t + 1$ . Намерете максималната височина, която топката достига, и времето, за което това се случва.
Дадена е параболата $y = x^^{2} - 2 k x + k$ . Намерете стойностите на параметъра $k$ , за които върхът на параболата лежи на правата $y = x + 4$ .
Намерете аналитичния израз на квадратната функция, чиято графика има връх $V (- 1, - 4)$ и пресича оста $O x$ в точката $A (1, 0)$ .
Постройте графиката на функцията $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣$ и определете най-малката ѝ стойност.
Намерете стойностите на $x$ , за които графиката на функцията $f (x) = x^^{2} - 5 x + 6$ е под графиката на функцията $g (x) = x + 1$ .

III.

Тези задачи включват оптимизация, работа с параметри при ограничения в интервали или разширено моделиране.

Дадена е функцията $f (x) = x^^{2} - 4 x + m$ . Намерете стойностите на параметъра $m$ , за които най-голямата стойност на функцията в интервала $[0, 3]$ е равна на $7$ .
Намерете максималния периметър на правоъгълник, вписан под параболата $y = 12 - x^^{2}$ в първи квадрант, като един от върховете му е в началото на координатната система $(0, 0)$ .
Докажете, че за функцията $f (x) = (x - a)^{2} + (x - b)^{2} + (x - c)^{2}$ най-малката стойност се достига при $x$ , равно на средното аритметично на $a, b$ и $c$ .
Дадена е функцията $f (x) = m x^^{2} - (m + 1) x + 1$ . Намерете стойностите на параметъра $m$ , за които уравнението $f (x) = 0$ има два положителни корена.
Намерете стойностите на параметъра $p$ , за които функцията $f (x) = (p - 1) x^^{2} - 2 p x + 5$ е намаляваща за всяко $x \in [1, \infty)$ .
Намерете най-малкото цяло число $k$ , за което параболата $y = x^^{2} - k x + 4$ е изцяло над правата $y = 2 x - 1$ .
Нека $x_{1}$ и $x_{2}$ са корените на уравнението $x^^{2} + 3 x - 5 = 0$ . Намерете най-малката стойност на функцията $g (k) = k^^{2} x_{1} + k^^{2} x_{2} - 2 k + 1$ , без да решавате квадратното уравнение.
Оптимизация: Фермер иска да огради правоъгълен участък земя до река (реката е едната страна, не се огражда). Ако разполага с 100 метра ограда, намерете максималната площ, която може да огради, като използвате квадратна функция за моделиране.
Решете графично системата от неравенства: ${y \geq x^{2} - 4 ; y < x + 2$
Функцията $f (x)$ е дефинирана като най-малката стойност от $f_{1} (x) = 2 x + 1$ и $f_{2} (x) = x^^{2} - 4$ . Намерете абсцисите на пресечните точки на графиките на $f_{1} (x)$ и $f_{2} (x)$ , и начертайте графиката на функцията $f (x) = min {f_{1} (x), f_{2} (x)}$ .