Подобие на триъгълници, ъглополовяща в триъгълник

Признаци за подобие на триъгълници

Два триъгълника са подобни, ако съответните им ъгли са равни и съответните им страни са пропорционални.

\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \quad \text{ако:} \quad \begin{cases} \sphericalangle A = \sphericalangle A_1, \sphericalangle B = \sphericalangle B_1, \sphericalangle C = \sphericalangle C_1 \\ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k \end{cases}

Числото $k$ се нарича коефициент на подобие.

За да установим дали два триъгълника са подобни, не е необходимо да проверяваме всички тези шест условия. Достатъчно е да са изпълнени условията на един от трите основни признака:

1. Първи признак (По два ъгъла – Ъгъл-Ъгъл – ЪЪ)

Ако два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

- Условие: $\sphericalangle A = \sphericalangle A_1$ и $\sphericalangle B = \sphericalangle B_1$ .
- Извод: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ .

2. Втори признак (По две страни и ъгъла между тях – Страна-Ъгъл-Страна – СЪС)

Ако две страни от един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите заключени между тези страни са равни, то триъгълниците са подобни.

Условие: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k$ и $\sphericalangle A = \sphericalangle A_1$ .
Извод: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ .

3. Трети признак (По три страни – Страна-Страна-Страна – ССС)

Ако трите страни на един триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

Условие: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k$ .
Извод: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ .

Свойства на подобните триъгълници

Ако два триъгълника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ са подобни с коефициент на подобие $k$ (т.е., $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k$ ), то:

1. Съответни елементи (Дължини)

Отношението на всеки два съответни линейни елемента е равно на коефициента на подобие $k$ .

Елемент	Отношение
Съответни страни	$\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k$
Съответни височини ( $h_a, h_{a_1}$ )	$\frac{h_a}{h_{a_1}} = k$
Съответни медиани ( $m_a, m_{a_1}$ )	$\frac{m_a}{m_{a_1}} = k$
Съответни ъглополовящи ( $l_a, l_{a_1}$ )	$\frac{l_a}{l_{a_1}} = k$
Периметри ( $P, P_1$ )	$\frac{P}{P_1} = k$
Радиуси на описани окръжности ( $R, R_1$ )	$\frac{R}{R_1} = k$
Радиуси на вписани окръжности ( $r, r_1$ )	$\frac{r}{r_1} = k$

2. Лица

Отношението на лицата на два подобни триъгълника е равно на квадрата на коефициента на подобие.

\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2

Свойство на ъглополовящите в триъгълник

Теорема за ъглополовящата

Ъглополовящата на вътрешен ъгъл на триъгълник разделя срещулежащата страна на отсечки, които са пропорционални на прилежащите страни на триъгълника.

Нека в $\triangle ABC$ отсечката $CL$ е ъглополовяща на $\sphericalangle C$, като точка $L$ лежи на страната $AB$.

Тогава е в сила отношението:

\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC}

$AL$ и $LB$ са отсечките, на които ъглополовящата разделя страната $AB$ .
$AC$ и $BC$ са прилежащите страни на триъгълника към ъгъла $C$ .

Важно: Това свойство е пряко приложение на подобието, тъй като неговото доказателство се базира на построяване на подобни триъгълници.

Приложения на подобните триъгълници

Подобието на триъгълници е мощен инструмент в геометрията за:

Намиране на неизвестна дължина на страна или друг линеен елемент. Легендата разказва, че древногръцкият философ Талес от Милет е измерил височината на египетските пирамиди, използвайки този принцип.
Доказване на равенства от вида $a \cdot b = c \cdot d$ .
Изчисляване на лице, когато е известно лицето на подобен на него триъгълник и коефициентът на подобие.

Примерна задача (Типично приложение)

Задача: Даден е трапец $ABCD$ с основи $AB$ и $CD$ . Диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точка $O$ . Ако $AB = 10 \text{ cm}$ , $CD = 4 \text{ cm}$ и $AO = 5 \text{ cm}$ , намерете дължината на отсечката $OC$ .

Решение:

Доказване на подобие: Разглеждаме $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$ .
- $\sphericalangle BAO = \sphericalangle DCO$ (като кръстни ъгли при $AB \parallel CD$ и секуща $AC$ ).
- $\sphericalangle ABO = \sphericalangle CDO$ (като кръстни ъгли при $AB \parallel CD$ и секуща $BD$ ).
- По Първи Признак (ЪЪ) следва, че $\triangle ABO \sim \triangle CDO$ .
Записване на пропорциите:Тъй като триъгълниците са подобни, съответните им страни са пропорционални:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} = k$
Намиране на неизвестната дължина:Използваме първите две отношения, за да намерим коефициента на подобие $k$ и след това $CO$:
$k = \frac{AB}{CD} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$\frac{AO}{CO} = k \implies \frac{5}{CO} = \frac{5}{2}$

Оттук намираме $CO = 2 \text{ cm}$.

Задачи

В трапец $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ), диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точка $O$ . Ако $AO = 3\text{ cm}$ , $OC = 5\text{ cm}$ и $CD = 4\text{ cm}$ , намерете дължината на голямата основа $AB$ .
В $\triangle ABC$ са взети точки $M$ на $AC$ и $N$ на $BC$ . Ако $AC=12\text{ cm}$ , $BC=18\text{ cm}$ , $MC=4\text{ cm}$ и $NC=6\text{ cm}$ , а $MN=5\text{ cm}$ , намерете дължината на $AB$ .
В $\triangle ABC$ , $D$ е средата на $AB$ . Нека $E$ е точка на $AD$ и $\triangle ADE$ е подобен на $\triangle ADB$ с коефициент на подобие $k = \frac{1}{2}$ . Ако $S_{\triangle ADE} = 4\text{ cm}^2$ , намерете $S_{\triangle ABC}$ .
Дадени са $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коефициент на подобие $k=\frac{2}{3}$ . Височината $h_c$ е $8\text{ cm}$ . Ако $S_{A_1B_1C_1} = 27\text{ cm}^2$ , намерете страната $c$ на $\triangle ABC$ .
В правоъгълен триъгълник, височината към хипотенузата я разделя на отсечки $p=3$ и $q=9$ . Намерете дължината на тази височина $h$ .
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Периметърът на $\triangle ABC$ е $P_{ABC} = 32\text{ cm}$ . Отношението на лицата е $S_{ABC} : S_{A_1B_1C_1} = 4:9$ . Намерете периметъра $P_{A_1B_1C_1}$ .
В $\triangle ABC$ , $CL$ е ъглополовяща на $\angle C$ , като $L$ лежи на $AB$ . Ако $AC=8\text{ cm}$ и $BC=12\text{ cm}$ , а $S_{\triangle ACL} = 10\text{ cm}^2$ , намерете $S_{\triangle BCL}$ .
Две хорди $AB$ и $CD$ в окръжност се пресичат в точка $M$ . Ако $AM=4$ , $MB=6$ и $CM=3$ , намерете дължината на $MD$ .
В трапец $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ) диагоналите се пресичат в $O$ . Ако $AB=a$ и $CD=b$ , а височината на трапеца е $H$ , намерете разстоянието от $O$ до голямата основа $AB$ (височината на $\triangle ABO$ ).
$ABCD$ е успоредник. Права през $D$ пресича $AB$ в точка $M$ и $CB$ (продължението) в точка $N$ . Ако $AM=4$ и $MB=6$ , намерете отношението $BC:BN$ .
В $\triangle ABC$ , $AC=20\text{ cm}$ и $BC=15\text{ cm}$ . Ъглополовящата $l_c$ разделя $AB$ на отсечки $AL$ и $LB$ . Намерете отношението $AL:LB$ .
В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C=90^\circ$ ), $CH$ е височина към хипотенузата $AB$ . Ако $CH=12$ и разликата на проекциите на катетите върху хипотенузата е $AH - BH = 7$ , намерете дължините на $AH$ и $BH$ .
В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C=90^\circ$ ), хипотенузата е $c=13\text{ cm}$ , а катетът $a=5\text{ cm}$ . Намерете дължината на проекцията $p$ на катета $a$ върху хипотенузата $c$ .
В $\triangle ABC$ , точки $D \in AB$ и $E \in AC$ са такива, че $DE \parallel BC$ . Ако $AD=3$ и $DB=5$ , а $S_{\triangle ADE} = 9\text{ cm}^2$ , намерете лицето на трапеца $DBCE$ .
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с $k=3$ . $P_{A_1B_1C_1} = 15\text{ cm}$ . Ако страните на $\triangle A_1B_1C_1$ се отнасят както $1:2:2$ , намерете дължината на най-дългата страна на $\triangle ABC$ .
$ABCD$ е равнобедрен трапец с $AB \parallel CD$ , $AB=10\text{ cm}$ и $CD=6\text{ cm}$ . Диагоналите се пресичат в $O$ . Ако височината на трапеца е $H=8\text{ cm}$ , намерете височината $h_1$ на $\triangle ABO$ към основата $AB$ .
$AM$ е медиана в $\triangle ABC$ . $N$ е средата на $AM$ . Правата $BN$ пресича $AC$ в точка $P$ . Намерете отношението $AP:PC$ .
В $\triangle ABC$ , ъглополовящата $l_c$ разделя $AB$ на отсечки $AL=6$ и $LB=3$ . Ако $BC - AC = 3\text{ cm}$ , намерете дължината на $BC$ .
От точка $P$ извън окръжност са построени тангента $PT$ и секуща $PAB$ . Ако $PT=6$ и външната част на секущата е $PA=3$ , намерете дължината на отсечката $AB$ .
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Лицата им са $S_{ABC}=72\text{ cm}^2$ и $S_{A_1B_1C_1}=50\text{ cm}^2$ . Ако сумата на съответните височини е $h_c + h_{c_1} = 22\text{ cm}$ , намерете дължината на $h_c$ .