11.3 Квадратна функция и квадратни неравенства

1. Геометрични свойства на параболата и каноничен вид

Важни геометрични елементи:

• Връх на параболата $V(x_0, y_0)$: Точката на обрат в монотонността.
• Ос на симетрия: Вертикалната права $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$. Параболата е огледално симетрична спрямо тази права, т.е. $f(x_0 – h) = f(x_0 + h)$ за всяко $h$.
• Ориентация на клоновете:
  • При $a > 0$ клоновете са сочат нагоре ($\cup$).
  • При $a < 0$ клоновете сочат надолу ($\cap$).

2. Изследване на НМС и НГС

А. Изследване в цялата дефиниционна област ($x \in \mathbb{R}$)

1. При $a > 0$:
   $$f(x) = a(x – x_0)^2 + y_0 \ge y_0$$
   • Най-малка стойност (НМС): $\min_{x \in \mathbb{R}} f(x) = y_0 = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$, достига се при $x = x_0$.
   • Най-голяма стойност (НГС): Не съществува ($\text{НГС} = +\infty$).
2. При $a < 0$:
   $$f(x) = a(x – x_0)^2 + y_0 \le y_0 \quad (\text{тъй като } a(x-x_0)^2 \le 0)$$
   • Най-голяма стойност (НГС): $\max_{x \in \mathbb{R}} f(x) = y_0 = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$, достига се при $x = x_0$.
   • Най-малка стойност (НМС): Не съществува ($\text{НМС} = -\infty$).

Б. Изследване в затворен интервал $x \in [\alpha, \beta]$

• Случай 1: Върхът е вътре в интервала ($x_0 \in [\alpha, \beta]$)
  • Ако $a > 0$: $\text{НМС} = f(x_0)$, а $\text{НГС} = \max\{f(\alpha), f(\beta)\}$.
  • Ако $a < 0$: $\text{НГС} = f(x_0)$, а $\text{НМС} = \min\{f(\alpha), f(\beta)\}$.
• Случай 2: Върхът е извън интервала ($x_0 \notin [\alpha, \beta]$)
  Параболата е монотонна в целия интервал $[\alpha, \beta]$ (само нараства или само намалява). Екстремумите се достигат задължително в двата края на интервала:
  $$\text{НМС} = \min\{f(\alpha), f(\beta)\}, \quad \text{НГС} = \max\{f(\alpha), f(\beta)\}$$

3. Решаване на квадратни неравенства и графични интерпретации

Шестте графични случая:

1. $a > 0, D > 0$: Параболата пресича $Ox$ в две точки $x_1 < x_2$.
   • $f(x) > 0 \implies x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$ (външни интервали)
   • $f(x) < 0 \implies x \in (x_1, x_2)$ (вътрешен интервал)
2. $a > 0, D = 0$: Параболата се допира до $Ox$ във върха $x_0$.
   • $f(x) \ge 0 \implies x \in \mathbb{R}$
   • $f(x) > 0 \implies x \in \mathbb{R} \setminus \{x_0\}$
   • $f(x) \le 0 \implies x = x_0$
   • $f(x) < 0 \implies$ няма решение ($\emptyset$)
3. $a > 0, D < 0$: Параболата е изцяло над оста $Ox$.
   • $f(x) > 0 \implies x \in \mathbb{R}$
   • $f(x) \le 0 \implies \emptyset$
4. $a < 0, D > 0$: Параболата пресича $Ox$ в две точки $x_1 < x_2$ и обърната надолу.
   • $f(x) > 0 \implies x \in (x_1, x_2)$
   • $f(x) < 0 \implies x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$
5. $a < 0, D = 0$: Параболата е под $Ox$ и я докосва в $x_0$.
   • $f(x) \le 0 \implies x \in \mathbb{R}$
   • $f(x) < 0 \implies x \in \mathbb{R} \setminus \{x_0\}$
6. $a < 0, D < 0$: Параболата е изцяло под оста $Ox$.
   • $f(x) < 0 \implies x \in \mathbb{R}$
   • $f(x) \ge 0 \implies \emptyset$

4. Графично разположение на корените спрямо дадени числа (Теореми за разположение)

Основни конфигурации:

• И двата корена са по-големи от числото $p$ ($p < x_1 \le x_2$):
  $$\begin{cases} D \ge 0 \\ a \cdot f(p) > 0 \\ x_0 = -\dfrac{b}{2a} > p \end{cases}$$
• Числото $p$ е строго между корените ($x_1 < p < x_2$):
  $$a \cdot f(p) < 0$$
  (Забележка: Тук $D > 0$ се гарантира автоматично).
• И двата корена са в отворения интервал $(p, q)$ ($p < x_1 \le x_2 < q$):
  $$\begin{cases} D \ge 0 \\ a \cdot f(p) > 0 \\ a \cdot f(q) > 0 \\ p < x_0 < q \end{cases}$$