Продължете към съдържанието

Числови редици. Конструиране, Монотонност, Рекурентна зависимост

    Числова редица е съвкупност от числа, подредени по дадено правило, като на всяко естествено число $n$ се съпоставя член $a_n$.

     

    Конструиране на числови редици

    Числовите редици могат да бъдат конструирани (задавани) по няколко основни начина:

    1. Чрез формула за общия член ($a_n$): Това е най-често срещаният метод, при който се дава аналитична формула, зависеща от индекса $n$, която позволява директно изчисляване на всеки член.
      • Пример: Редицата с общ член $a_n = 2n – 1$ е редицата на нечетните числа: $1, 3, 5, 7, \dots$
    2. Чрез рекурентна зависимост (формула): Задава се първият член (или няколко начални члена) и правило (формула), което показва как да се получи всеки следващ член $a_n$ от предходните членове (например $a_{n-1}$, $a_{n-2}$, и т.н.).
      • Пример: Редицата на Фибоначи: $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, и $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ за $n > 2$. Редицата е $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$
    3. Описателно: Чрез словесно описание на правилото за образуване на членовете.

     

    Монотонност на числови редици

    Монотонността описва как се променят членовете на редицата с нарастване на индекса $n$. За да се определи монотонността, обикновено се изследва знакът на разликата $a_{n+1} – a_n$ или частното $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (ако всички членове са положителни).

    Вид Монотонност Условие (чрез разлика) Условие (чрез частно, за an​>0) Характеристика
    Строго растяща $a_{n+1} – a_n > 0$ $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$ Всеки следващ член е по-голям от предходния.
    Растяща $a_{n+1} – a_n \geq 0$ $\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1$ Всеки следващ член е по-голям или равен на предходния.
    Строго намаляваща $a_{n+1} – a_n < 0$ $\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ Всеки следващ член е по-малък от предходния.
    Намаляваща $a_{n+1} – a_n \leq 0$ $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1$ Всеки следващ член е по-малък или равен на предходния.

    Редиците, които са растящи или намаляващи, се наричат с общото име монотонни редици.

     

    Рекурентна зависимост

    Рекурентната зависимост (или рекурсивна формула) е метод за задаване на редица, при който всеки член на редицата (след началния/началните) се изразява като функция на един или повече от предходните членове.

    Формата на рекурентната зависимост е:

    $$a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_{n-k}, n)$$

    където $k$ е броят на предходните членове, които са необходими.

     

    Примери за рекурентни зависимости:

    • Аритметична прогресия: $a_1$ е даден, и $a_n = a_{n-1} + d$, където $d$ е разликата.
      • Пример: $a_1 = 5$, $a_n = a_{n-1} + 3$. Редицата е $5, 8, 11, 14, \dots$
    • Геометрична прогресия: $a_1$ е даден, и $a_n = a_{n-1} \cdot q$, където $q$ е частното.
      • Пример: $a_1 = 2$, $a_n = 2 \cdot a_{n-1}$. Редицата е $2, 4, 8, 16, \dots$
    • Редица на Фибоначи: $a_1 = 1, a_2 = 1$, и $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.

    Предимство на описание чрез рек. зависимост: Лесно се изразява правилото за преход от член към член.

    Недостатък: За да се намери членът $a_n$, трябва да се изчислят всички предходни членове.

     

    Изследване на Монотонност с Примери

    За да определим монотонността, най-често изследваме знака на разликата $d_n = a_{n+1} – a_n$.

     

    Пример 1: Редица $a_n = \frac{n}{n+1}$

    1. Изразяваме $a_{n+1}$:

    $$a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}$$

    2. Намираме разликата $a_{n+1} – a_n$:

    $$a_{n+1} – a_n = \frac{n+1}{n+2} – \frac{n}{n+1}$$

    3. Привеждаме под общ знаменател:

    $$a_{n+1} – a_n = \frac{(n+1)^2 – n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(n^2 + 2n + 1) – (n^2 + 2n)}{(n+2)(n+1)}$$
    $$a_{n+1} – a_n = \frac{n^2 + 2n + 1 – n^2 – 2n}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)}$$

    4. Анализираме знака:

    Тъй като $n \in \mathbb{N}$, то $n+1 > 0$ и $n+2 > 0$. Следователно, $\frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0$.

    От $a_{n+1} – a_n > 0$ следва, че $a_{n+1} > a_n$.

    Извод: Редицата $a_n = \frac{n}{n+1}$ е строго растяща. (Членовете са $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$)

     

    Пример 2: Редица $a_n = \frac{5}{n+3}$

    1. Изразяваме $a_{n+1}$:

    $$a_{n+1} = \frac{5}{(n+1)+3} = \frac{5}{n+4}$$

    2. Намираме разликата $a_{n+1} – a_n$:

    $$a_{n+1} – a_n = \frac{5}{n+4} – \frac{5}{n+3}$$

    3. Привеждаме под общ знаменател:

    $$a_{n+1} – a_n = \frac{5(n+3) – 5(n+4)}{(n+4)(n+3)} = \frac{5n + 15 – 5n – 20}{(n+4)(n+3)}$$
    $$a_{n+1} – a_n = \frac{-5}{(n+4)(n+3)}$$

    4. Анализираме знака:

    Знаменателят $(n+4)(n+3)$ е винаги положителен, а числителят е $-5$. Следователно, $\frac{-5}{(n+4)(n+3)} < 0$.

    От $a_{n+1} – a_n < 0$ следва, че $a_{n+1} < a_n$.

    Извод: Редицата $a_n = \frac{5}{n+3}$ е строго намаляваща. (Членовете са $\frac{5}{4}, \frac{5}{5}, \frac{5}{6}, \frac{5}{7}, \dots$)

    Допълнителни бележки:

    Границата на редица е математическа концепция, която описва към коя стойност се приближават членовете на редицата, когато техният индекс $n$ нараства неограничено (клони към безкрайност). С други думи, ако редицата има граница, това е числото, около което се сгъстяват членовете на редицата, когато отиваме все по-напред в нея. Такива редици се наричат ограничени.

    Сходяща редица (или конвергентна редица) е числова редица, чиито членове се приближават неограничено близо до едно единствено, крайно число, когато индексът на членовете ($n$) клони към безкрайност. Това крайно число се нарича граница на редицата.

    Въпроси

    1. Дефиниция: Какво е числова редица и кой е нейният индекс?
    2. Общ Член: Каква е формулата за общия член ($a_n$) на редицата на четните числа?
    3. Рекурентност: Ако редицата е зададена с $a_1 = 3$ и $a_n = 2a_{n-1} – 1$, кой е третият член ($a_3$)?
    4. Монотонност (Растяща): Какво условие трябва да бъде изпълнено за разликата $a_{n+1} – a_n$, за да бъде редицата строго растяща?
    5. Монотонност (Намаляваща): Редицата $a_n = 10 – n$ растяща или намаляваща е?
    6. Визуализация: Как би изглеждала графиката на редица, която е монотонна, но неограничена? А такава, която е ограничена, но немонотонна?
    7. Практическо приложение: В коя област (финанси, биология, информатика) се използва най-често рекурентната зависимост от втори ред (като Фибоначи) и защо?
    8. Конвергенция: Дайте пример за редица, чиито членове са цялочислени, но която клони към ирационално число.
    9. Обратно конструиране: Дадена е разликата между последователни членове $a_{n+1} – a_n = \frac{1}{n(n+1)}$. Каква е формулата за общия член $a_n$?
    10. Уникалност: Съществува ли редица, в която всеки член е сума от всички предходни членове? Ако да, каква е формулата ѝ?
    11. Нестандартно задаване: Задайте редица, чийто $n$-ти член $a_n$ е броят на делителите на числото $n$. Как се нарича тази редица?
    12. Променлива монотонност: Съществува ли редица, която е растяща за четни $n$ и намаляваща за нечетни $n$?

     

    Задачи

    I.

    А. Намиране на членове (общ член)

    1. Намерете първите четири члена на редицата $a_n = \frac{n^2}{n+1}$.
    2. Намерете $a_{10}$ за редицата $a_n = (-1)^n \cdot (3n – 1)$.
    3. Дадена е редицата $a_n = \frac{2n}{3n-1}$. Намерете $n$, за което $a_n = \frac{10}{14}$.
    4. Намерете формулата за общия член на редицата: $\frac{1}{1\cdot2}, \frac{1}{2\cdot3}, \frac{1}{3\cdot4}, \frac{1}{4\cdot5}, \dots$
    5. Намерете $a_5$ за редицата $a_n = n \cdot \cos(\pi n)$.

     

    Б. Рекурентна зависимост

    1. Редицата е зададена с $a_1 = 4$ и $a_n = a_{n-1} + 7$. Намерете $a_4$.
    2. Редицата е зададена с $a_1 = 2$ и $a_n = 3 \cdot a_{n-1}$. Намерете $a_5$.
    3. Редицата е зададена с $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ и $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$. Намерете $a_5$.
    4. Запишете рекурентната зависимост за редицата: $10, 8, 6, 4, \dots$
    5. Изчислете $a_3$ за редицата $a_1 = -1$ и $a_n = 2n + a_{n-1}$.

     

    В. Монотонност и ограниченост

    1. Определете монотонността на редицата $a_n = 5 – 2n$ ;

      $$a_n = n^2 + 5n$$ ;

      $$a_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$$
    2. Определете монотонността на редицата $a_n = \frac{1}{n^2}$ ;

      $$a_n = \frac{1}{2^n}$$ ;

      $$a_n = (-1)^n \cdot n$$ ;

      $$a_n = 2n^2 – 10n + 1$$
    3. Определете дали редицата $a_n = 1 + (-1)^n$ е ограничена.
    4. Определете дали редицата $a_n = n^2$ е ограничена отгоре.
    5. Докажете, че редицата $a_n = \frac{n}{n+2}$ е растяща.

     

    II.

    А. Смяна на формула

    1. Зададена е редицата $a_1 = 3$ и $a_n = a_{n-1} + 4$. Намерете формулата за общия член $a_n$.
    2. Зададена е редицата $a_1 = 2$ и $a_n = a_{n-1} \cdot 5$. Намерете формулата за общия член $a_n$.
    3. Намерете формулата за общия член $a_n$ за редицата, чиито членове са: $1, 8, 27, 64, 125, \dots$
    4. Докажете, че редицата $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ е строго намаляваща.
    5. Определете монотонността на редицата $a_n = n^3 – 6n$.

     

    Б. Монотонност и ограниченост (Продължение)

    1. Докажете, че редицата $a_n = \frac{2n – 1}{n + 1}$ е ограничена.
    2. Определете монотонността на редицата $a_n = \frac{n^2}{2^n}$.
    3. Докажете, че редицата $a_n = \frac{3^n}{n!}$ е намаляваща за $n \geq 3$.
    4. Изследвайте монотонността на редицата $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$.
    5. Намерете точната горна граница (супремум) на редицата $a_n = 3 – \frac{1}{n}$.

     

    В. Рекурентна зависимост с променлив коефициент

    1. Редицата е зададена с $a_1 = 1$ и $a_n = n \cdot a_{n-1}$. Намерете формулата за общия член $a_n$.
    2. Редицата е зададена с $a_1 = 1$ и $a_n = (n+1) a_{n-1}$. Намерете $a_4$.
    3. Редицата е зададена с $a_1 = 0$ и $a_n = a_{n-1}^2 + 1$. Намерете $a_3$.
    4. Редицата е зададена с $a_1 = 1$ и $a_n = a_{n-1} + 2n$. Намерете $a_3$ и $a_4$.
    5. Намерете общия член на редицата, зададена рекурентно: $a_1 = 1, a_n = \frac{n-1}{n} a_{n-1}$.

     

    © София-Мат ЕООД

     

     

     

     

     

    Допълнително: Рекурентна зависимост и решаване (Извеждане на общ член)

    Понякога се налага да намерим формулата за общия член $a_n$ (аналитичното представяне) от дадена рекурентна зависимост.

    Пример: Редица на Фибоначи (Линейна рекурентна зависимост от втори ред)

    Формулата е $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$, с $a_1 = 1, a_2 = 1$.

    Извеждането на формулата за общия член тук е по-сложно и се използва методът на характеристичното уравнение.

    1. Характеристично уравнение: Заместваме $a_n = r^n$, $a_{n-1} = r^{n-1}$, $a_{n-2} = r^{n-2}$ във формулата:
      $$r^n = r^{n-1} + r^{n-2}$$

      Делим на $r^{n-2}$ (при $r \neq 0$):

      $$r^2 = r + 1 \quad \Rightarrow \quad r^2 – r – 1 = 0$$
    2. Намиране на корените ($r_1, r_2$):
      $$r_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
    3. Формула за Общия Член (Формула на Бине):Общият член има вида $a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n$. След заместване на началните условия $a_1$ и $a_2$ за намиране на константите $C_1$ и $C_2$, се получава:
      $$\mathbf{a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n – \left(\frac{1 – \sqrt{5}}{2}\right)^n \right]}$$

      Това показва, че дори за проста рекурентна зависимост, формулата за общия член може да е доста сложна.

     

    Задачи III.

    А. Сложни рекурентни зависимости

    1. Редицата е зададена с $a_1 = 2$ и $a_n = \sqrt{a_{n-1} + 2}$. Намерете първите четири члена и предполагаемата граница.
    2. Докажете, че ако $a_1 = 1$ и $a_n = \frac{1}{2} (a_{n-1} + \frac{2}{a_{n-1}})$, то редицата е ограничена отдолу с $\sqrt{2}$. (Итеративна формула за $\sqrt{2}$).
    3. Линейна рекурентна зависимост (ЛРЗ): Намерете формулата за общия член на редицата $a_n = 3a_{n-1} – 2a_{n-2}$ при $a_1 = 3$ и $a_2 = 5$.
    4. Намерете общия член на редицата, зададена от $a_1 = 1$ и $a_n = a_{n-1} + 2^n$.

     

    Б. Монотонност и граници

    1. Изследвайте монотонността на редицата $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. (Известна редица, клоняща към $e$).
    2. Докажете, че редицата $a_n = \frac{n}{2^n}$ е ограничена и монотонна за $n \geq 1$.
    3. Намерете $a_n$, ако редицата на частичните суми $S_n = a_1 + \dots + a_n$ е $S_n = n^2 + 2n$.
    4. Изследвайте монотонността на редицата $a_n = \frac{2^n}{n!}$.

    В. Теоретични и креативни

    1. Редицата на Паскаловите числа: Задайте рекурентно редица $a_n$, която представя сумата на числата от $n$-тия ред на триъгълника на Паскал. Намерете формулата за общия член.
    2. Редицата на Четвъртинките: Редицата е зададена с $a_1 = 1$ и $a_n = \frac{1}{4} a_{n-1} + \frac{3}{4}$. Изследвайте монотонността и намерете границата (ако съществува).

    © София-Мат ЕООД

     

     

     

     

     

     

    Facebook
    X (Twitter)
    Copy link
    URL has been copied successfully!