Триплетно дърво образува една от най-красивите структури в математиката | Quanta Списание
Числата на Марков разкриват тайните на ирационалните числа и модели на последователността на Фибоначи.
…
връзка
овечето хора са запознати само с шепа числа, които не могат да бъдат записани като дроби, като например √2 или Пи. Но такива числа, наречени ирационални числа, са много по-изобилни от дроби или рационални числа.
Колко лесно се апроксимират с дроби? Ако използвате дроб с произволно голям знаменател, можете да получите произволно близо. (Както е добре известно, 22/7 дава прилично приближение на Пи; 355/113 е дори по-добро.) Но някои ирационални числа са по-трудни за приблизително от други, което означава, че трябва да използвате много голям знаменател, за да получите близко приближение. Най-трудното се оказва златното сечение,ϕ, или(1+√5)/2. В специфичен математически смисъл това е числото, което е „най-далеч“ от това да бъде рационално.
Кое е следващото най-отдалечено? А следващият? Оказва се, че последователността от ирационални числа, които трудно се приближават, се дава от целочислените решения на измамно просто уравнение, което няма очевидна връзка с приближаването на ирационални числа. Тази връзка е доказана от Андрей Марков, древен руски математик, през 1879 г.
Марков е известен с това, че предлага концепция в теорията на вероятностите, наречена вериги на Марков, които се използват във всичко – от алгоритъма на Google PageRank до модели на еволюция на ДНК. Но въпреки че решенията на неговото уравнение, наречени числа на Марков, не са толкова добре известни, те възникват в широк кръг от математически дисциплини, включително комбинаторика, теория на числата, геометрия и теория на графиките.
„Това не е просто уравнение, това е вид метод“, каза Олег Карпенков, математик от Университета на Ливърпул. „Тези числа са централни, дълбоко в математиката… структури като тази са видовете идеи, които са рядкост.“
Неговото уравнение,х2+и2+с2=3хис, има очевидно целочислено решение, когато x, и и с са 1 (тъй като 1 + 1 + 1 = 3 × 1). Оказва се, че всички целочислени решения на уравнението са свързани с просто правило. Започнете с решение (a, b, < a i=11>c). След това свързаната тройка (a, b, 3 ab − c) също е решение. Първите две числа остават същите, докато c, третото, се заменя с 3ab − c. Приложете това правило към (1, 1, 1) и ще получите (1, 1, 2). (Лесно е да проверите, че въвеждането на тези стойности прави и двете страни на уравнението равни на 6.) Приложете правилото отново и ще се върнете откъдето сте започнали, тъй като 3 − 2 = 1. Но ако обърнете реда на числа в тройката, преди да приложи правилото, създава цяла вселена от решения. Въведете (1, 2, 1) и ще получите (1, 2, 5)…
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
