Системи, квадратни и дробни неравенства, моделиране.

1. Системи от две линейни неравенства с едно неизвестно

Система от две линейни неравенства с едно неизвестно се състои от две неравенства, които трябва да бъдат изпълнени едновременно. Общият вид на такава система е:

\begin{array}{|l} a_1x + b_1 \geq 0 \\ a_2x + b_2 \geq 0 \end{array}

(или с други знаци за сравнение: $<, >, \leq$ )

Как се решава?

Решавате всяко неравенство поотделно, за да намерите неговото множество от решения.
Намирате сечението (общата част) на множествата от решения на двете неравенства. Това се прави най-лесно чрез графично представяне на числовия лъч.

Пример

Решете системата:

\begin{array}{|l} 2x - 4 < 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{array}

Решение на първото неравенство:$2x – 4 < 0 \Rightarrow 2x < 4 \Rightarrow x < 2$.Множеството от решения е $x \in (-\infty; 2)$.
Решение на второто неравенство:$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$.Множеството от решения е $x \in [-1; +\infty)$.
Сечение на решенията:Изобразяваме двете решения на един числов лъч. Общата им част е интервалът, в който се застъпват.
Решението на системата е $\boldsymbol{x \in [-1; 2)}$ .

2. Решаване на квадратно неравенство

Квадратно неравенство е неравенство от вида $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<, \geq, \leq$ ), където $a \neq 0$ .

Как се решава? (Метод на параболата)

Преобразувате неравенството до основен вид, т.е., $ax^2 + bx + c \stackrel{<}{>} 0$ .
Разглеждате квадратната функция $y = ax^2 + bx + c$ . Графиката ѝ е парабола.
Намирате корените на съответното квадратно уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ . Корените (ако съществуват) са пресечните точки на параболата с оста $Ox$ .
Определяте посоката на отваряне на параболата:
- Ако $a > 0$ , параболата е обърната нагоре (усмивка).
- Ако $a < 0$ , параболата е обърната надолу (тъжна).
Начертавате схематично параболата, като отчитате корените и посоката на отваряне.
Отчитате от графиката в кои интервали (спрямо оста $Ox$ ) параболата е над оста ( $y > 0$ ) или под оста ( $y < 0$ ).

Случаи според дискриминантата $D$ :

Случай	D=b2−4ac	Корени	Схематична графика (при a>0)	Решение на ax2+bx+c>0
$\mathbf{D > 0}$	Положителна	Два различни корена $x_1, x_2$	Параболата пресича $Ox$ на две места.	$x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$
$\mathbf{D = 0}$	Нула	Един двоен корен $x_0$	Параболата се допира до $Ox$ .	$x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; +\infty)$
$\mathbf{D < 0}$	Отрицателна	Няма реални корени	Параболата не пресича $Ox$ (цялата е над $Ox$ ).	$x \in (-\infty; +\infty)$ (при $a>0$ ); $\emptyset$ (при $a<0$ )

Решаване на дробни неравенства и метод на интервалите

Дробно неравенство е неравенство, което съдържа неизвестното в знаменателя (и/или числителя), например: $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ .

Метод на интервалите

Това е универсален метод за решаване както на дробни, така и на някои полиномни (квадратни, кубични и т.н.) неравенства.

Преобразувате неравенството така, че от едната страна да имате нула, а от другата – единствена дроб или произведение на множители:
$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \quad \text{или} \quad P(x) \cdot Q(x) > 0$
Намирате „критичните точки“:
- Корените на числителя ( $P(x) = 0$ ). Тези точки са включени в решението, ако знакът е $\geq$ или $\leq$ .
- Корените на знаменателя ( $Q(x) = 0$ ). Тези точки никога не се включват в решението, защото правят знаменателя нула (недопустими стойности).
Нанасяте всички критични точки върху числови лъч. Тези точки разделят лъча на интервали.
Определяте знака на израза $\frac{P(x)}{Q(x)}$ във всеки интервал:
- Избирате тестова точка от произволен интервал (например $x=5$ ).
- Замествате тази точка в израза и определяте знака на резултата (плюс или минус).
- Ако няма повтарящи се корени, знаците се редуват от интервал в интервал (редуваща се смяна на знака).
Записвате решението, като избирате интервалите, които съответстват на знака на неравенството.

4. Моделиране с рационални неравенства

Моделирането е процес на превеждане на текстова задача (обикновено от реалния живот) на езика на математиката, като в този случай се получава рационално неравенство.

Основни стъпки

Определяте неизвестното (променливата) в задачата и го означавате с $x$ (напр. скорост, време, количество).
Определяте допустимите стойности (ДС) за $x$ (напр. скоростта $x$ трябва да бъде положително число, $x > 0$ ).
Съставяте израз или съотношение, което описва условието на задачата. Често това включва сравнение, напр. „времето да е по-малко от 2 часа“ или „общата стойност да е повече от 100 лв.“.
Съставяте неравенството.
Решавате полученото рационално неравенство (често с метода на интервалите).
Анализирате полученото математическо решение спрямо допустимите стойности и контекста на задачата (напр. ако търсите брой хора, отговорът трябва да е цяло число).
Формулирате отговор на въпроса в задачата.

Пример

Задача за движение: „За колко време $t$ може да измине 100 км, ако средната му скорост $v$ (в км/ч) е по-голяма от 50 км/ч?“

Неизвестно: Времето $t$ .
Връзка: $t = \frac{S}{v} = \frac{100}{v}$ .
Условие: $v > 50$ .
Моделиране: Тъй като $v > 50$, то $v$ е положително. Делим неравенството $100 < 100$ на $v$:
$\frac{100}{v} < \frac{100}{50} \Rightarrow t < 2$
Решение: Времето трябва да е по-малко от 2 часа ( $t \in (0; 2)$ ).

Задачи

1. Решете неравенството: $3(x - 1) + 5 \geq 2x + 7$ .
2. Намерете най-голямото цяло число, което е решение на неравенството: $\frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 1$ .
3. Решете системата:
  
  $\begin{array}{|l} 5x - 3 \leq 2x + 6 \\ 4x + 1 > 7 \end{array}$
4. Решете системата и представете решението като интервал:
  
  $\begin{array}{|l} \frac{x}{2} - 1 < x \\ 3(x+4) \geq 0 \end{array}$
5. Намерете целите числа, които са решения на системата:
  
  $\begin{array}{|l} 2(x-5) < 3x \\ \frac{x}{2} > -2 \end{array}$
6. Решете неравенството: $x^2 - 4x + 3 < 0$ .
7. Решете неравенството: $x^2 + 6x + 9 \geq 0$ .
8. Решете неравенството: $-x^2 + 2x - 5 > 0$ .
9. Решете неравенството: $2x^2 - 8x \leq 0$ .
10. Решете неравенството: $4x^2 - 1 > 0$ .
11. Решете неравенството: $(x^2 - 4)(x + 1) \leq 0$ . (Използвайте метода на интервалите).
12. Решете дробното неравенство: $\frac{x+2}{x-5} > 0$ .
13. Решете неравенството: $\frac{x^2 - 9}{x} \geq 0$ .
14. Решете дробното неравенство: $\frac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} \leq 0$ .
15. Намерете допустимите стойности на израза: $\sqrt{\frac{3-x}{x+1}}$ .
16. Намерете стойностите на $x$ , за които изразът $A = x^2 - 5x + 6$ е отрицателен.
17. Една страна на правоъгълник е $x$ см, а другата е с 2 см по-голяма. Намерете стойностите на $x$ , за които лицето на правоъгълника е по-малко от 80 кв. см. (Не забравяйте ДС: $x>0$ ).
18. Решете системата неравенства:
  
  $\begin{array}{|l} x^2 - 7x + 10 < 0 \\ 2x - 1 \geq 3 \end{array}$
19. Решете системата:
  
  $\begin{array}{|l} \frac{x}{3} - 1 \leq 0 \\ x^2 + 5x > 0 \end{array}$
20. За кои стойности на $x$ са дефинирани едновременно двата корена: $\sqrt{x-3}$ и $\sqrt{5-x}$ ?
21. Решете неравенството: $(x^2 - 5x + 6)(x - 4) < 0$ .
22. Решете неравенството: $\frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - x + 1} \geq 0$ .
23. Решете дробното неравенство: $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2} \leq 0$ .
24. Решете неравенството: $\frac{x^2}{x-1} \geq 4$ .
25. Намерете всички цели числа $x$ , които удовлетворяват неравенството: $\frac{x^2 - 2x - 15}{x^2 - 4} \leq 0$ .
26. За кои стойности на параметъра $a$ неравенството $x^2 - 2ax + 4 > 0$ е вярно за всяко реално число $x$ ?
27. Намерете стойностите на параметъра $a$ , за които системата има точно едно решение:
  
  $\begin{array}{|l} x > a - 2 \\ x < 5 \end{array}$
28. За кои стойности на параметъра $k$ неравенството $(k-1)x^2 - 2(k+1)x + 3k > 0$ има решение за всяко $x \in \mathbb{R}$ ?
29. Намерете най-малката стойност на израза $\frac{x+1}{x}$ , ако $x$ е решение на системата:
  
  $\begin{array}{|l} \frac{x^2}{x-2} \geq 0 \\ x - 5 < 0 \end{array}$
30. Намерете стойностите на $m$ , за които корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - mx + 4 = 0$ удовлетворяват условието: $x_1 < 1 < x_2$ .
31. Неравенство с две дроби:Решете неравенството:
  $\frac{x^2 - 1}{x^2 - x - 2} \leq 1$
32. Неравенство от висока степен:Решете неравенството:
  $(x^2 - x - 12)(x^2 + 4x + 4) > 0$
33. Рационално неравенство с параметър (Дискриминанта):Намерете всички стойности на параметъра $a$, за които квадратното неравенство
  $(a - 1)x^2 - 2(a - 1)x + a > 0$
  
  е вярно за всяко $x \in \mathbb{R}$.
34. Неравенство с модул (I):Решете неравенството:
  $|2x - 3| < x$
35. Неравенство с модул (II):Решете неравенството:
  $|x^2 - 4x| > 5$
36. Система с квадратно и дробно неравенство:Намерете целите числа, които са решение на системата:
  $\begin{array}{|l} x^2 - 4x - 5 < 0 \\ \frac{x}{x-3} \leq 0 \end{array}$
37. Намиране на област на дефиниция (Сложен корен):Намерете допустимите стойности на израза:
  $\sqrt{\frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 + 2x - 8}}$
38. Неравенство с параметър (Разположение на корените):Намерете всички стойности на параметъра $k$, за които уравнението $x^2 – 2kx + 3k = 0$ има два различни реални корена $x_1$ и $x_2$, които са по-големи от 1 ($1 < x_1 < x_2$).
39. Неравенство с параметър (Радикали):За кои стойности на параметъра $p$ съществуват реални числа $x$, за които е изпълнено неравенството:
  $\sqrt{p - x^2} \geq 1$
40. Намиране на минимална/максимална стойност::Намерете най-малката стойност на израза $A = x^2 – 6x + 10$, ако $x$ е решение на неравенството:
  $\frac{(x-4)^2}{x-2} \leq 0$

\frac{(x-4)^2}{x-2} \leq 0

Задачи за моделиране с неравенства

Правоъгълник има дължина на едната страна $x$ (в см), а другата му страна е с 3 см по-малка от $x$ . За кои стойности на $x$ периметърът на правоъгълника е по-голям от 18 см, а лицето му е по-малко от 40 кв. см? (Съставете система от две неравенства).
От квадратен лист картон със страна $x$ (в дм) се изрязва квадрат със страна 1 дм във всеки ъгъл, след което страните се прегъват, за да се образува отворена кутия. За кои стойности на $x$ обемът на получената кутия е по-голям от 4 куб. дм?
Един автомобил изминава разстояние от 120 км. На връщане той увеличава скоростта си с 10 км/ч. Ако общото време за пътуването в двете посоки е по-малко от 5 часа, каква е била първоначалната скорост $x$ на автомобила (в км/ч)?
Един работник може да свърши дадена работа за $x$ часа, а вторият работник може да свърши същата работа за $x+2$ часа. Ако двамата работници работят заедно, те могат да свършат работата за по-малко от 1 час и 12 минути. Намерете възможните стойности на $x$ .
Една фирма произвежда $x$ броя продукти. Общите разходи за производството са $x^2 + 10x + 50$ лева. За колко броя продукти $x$ себестойността на един продукт е по-малка от 30 лева? (Себестойността е $\frac{\text{Общи разходи}}{\text{Брой продукти}}$ ).
В съд има 10 литра разтвор с 20% сол. Колко литра чиста вода $x$ трябва да се изпарят (да се премахнат), за да стане концентрацията на солта по-голяма от 25%?
Намерете стойностите на $x$, за които е дефиниран изразът $A(x)$:
$A(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{x + 5}}$
Намерете всички естествени числа $x$ , за които сборът на числото $x$ и неговата реципрочна стойност е по-малък или равен на $\frac{17}{4}$ .
Един куриер трябва да измине 60 км. Ако увеличи средната си скорост с 5 км/ч, ще спечели поне 20 минути време. Намерете минималната възможна първоначална скорост $x$ на куриера (в км/ч).