11.1 Рационални и ирационални изрази

Рационални изрази и тъждествени преобразувания. Квадратни корени и свойства.

Ирационални изрази и определяне на допустими стойности.

№	Вариант А (Основно ниво)	Вариант Б (Средно ниво / Тест I модул)
1	Да се определят ДС на израза $A = \frac{2x - 3}{x - 4}$ .	Да се определят ДС на израза $B = \frac{3x + 1}{x^2 - 9}$ .
2	Да се намерят ДС на израза $A = \sqrt{x - 5}$ .	Да се намерят ДС на израза $B = \sqrt{6 - 2x} + \frac{1}{x}$ .
3	Да се определят ДС на израза $A = \frac{1}{\sqrt{3x + 12}}$ .	Да се определят ДС на израза $B = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 4}$ .
4	Да се съкрати дробта $\frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .	Да се съкрати дробта $\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$ .
5	Разложете на множители квадратния тричлен $x^2 - 5x + 6$ .	Разложете на множители квадратния тричлен $3x^2 - 5x - 2$ .
6	Опростете израза $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x-1}$ .	Опростете израза $\frac{x+3}{x^2-1} - \frac{1}{x+1}$ .
7	Пресметнете стойността на израза $A = \sqrt{(-7)^2}$ .	Пресметнете стойността на израза $B = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$ .
8	Изнесете множител пред корена в израза $\sqrt{18}$ .	Изнесете множител пред корена в израза $\sqrt{a^3}$ , където $a \ge 0$ .
9	Внесете множителя под корена в израза $3\sqrt{2}$ .	Внесете множителя под корена в израза $a\sqrt{3}$ , ако $a < 0$ .
10	Пресметнете стойността на израза $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$ .	Пресметнете стойността на израза $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{40}$ .
11	Рационализирайте знаменателя на дробта $\frac{6}{\sqrt{3}}$ .	Рационализирайте знаменателя на дробта $\frac{4}{\sqrt{5} - 1}$ .
12	Пресметнете стойността на $\sqrt[3]{-27} + \sqrt[4]{16}$ .	Пресметнете стойността на $\sqrt[3]{a^6 b^3} \cdot \sqrt{a^2 b^4}$ за $a > 0, b > 0$ .
13	Пресметнете стойността на израза $8^{\frac{2}{3}}$ .	Пресметнете стойността на израза $\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} + 27^{\frac{1}{3}}$ .
14	Опростете израза $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$ за $x > 0$ .	Опростете израза $\sqrt{x\sqrt{x}}$ за $x \ge 0$ .
15	Освободете се от ирационалност в знаменателя: $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .	Освободете се от ирационалност в знаменателя: $\frac{3}{\sqrt[3]{3} - 1}$ .

№	Вариант Б (Средно ниво / Тест I модул)	Вариант В (Разширено ниво / Тест II модул)
1	(ТУ, 2008) Намерете допустимите стойности (допустимото множество $D$ ) на израза: $A = \frac{\sqrt{x+3}}{x^2 - 4}$	Намерете ДС на ирационалния израз: $B = \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{x^2 - 1}} + \frac{1}{\vert{}x\vert{} - 3}$
2	Намерете ДС на израза: $A = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$	Намерете ДС на израза и го запишете като интервал: $B = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{\sqrt{x+1}} + \sqrt[4]{6 - x}$
3	Намерете ДС на израза: $A = \frac{1}{\sqrt{x-2}} + \frac{2}{x^2 - 9}$	Намерете ДС на израза с параметър $a > 0$ : $B = \frac{\sqrt{ax - a^2}}{x^2 - 4a^2} + \sqrt[6]{10 - x}$
4	Опростете рационалния израз: $A = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} : \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$	Опростете рационалния израз при $x \neq \pm y$ : $B = \left( \frac{x-y}{x+y} + \frac{x+y}{x-y} \right) \cdot \left( \frac{x^2+y^2}{2xy} + 1 \right) \cdot \frac{xy}{x^2+y^2}$
5	(ТУ, 2015) Опростете и пресметнете стойността на рационалния израз: $A = \left( \frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b} \right) : \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$ при $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{2}$ .	Опростете израза и намерете стойността му за $x = \sqrt{3}$ : $B = \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right) : \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$
6	Опростете израза за $x \neq 0, x \neq \pm 1$ : $A = \left( \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2 - 1} \right) : \frac{1}{x-1}$	Докажете тъждеството за допустимите стойности на $a$ и $b$ : $\left( \frac{a^3 - b^3}{a - b} - ab \right) : (a^2 + b^2) = 1$
7	Пресметнете стойността на израза: $A = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2}$	(ТУ, 2019) Изчислете стойността на ирационалния израз: $A = \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} - \sqrt{(1 - 3\sqrt{2})^2}$
8	(ТУ, 2011) Пресметнете стойността на израза: $A = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$	Пресметнете стойността на израза (вложени корени): $B = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$
9	Опростете израза: $A = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$	Опростете числовия израз: $B = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$
10	Опростете ирационалния израз за $x > 2$ : $A = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$	(УАСГ, 2010) Намерете всички допустими стойности на променливата $x$ и опростете израза: $A(x) = \frac{\sqrt{x+2 - 4\sqrt{x-2}} + 2}{\sqrt{x-2}}$
11	Опростете израза за $x > 1$ : $A = \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}$	Намерете ДС и опростете израза за $a > 0, a \neq 1$ : $B = \frac{\sqrt{a+1 + 2\sqrt{a}} + \sqrt{a+1 - 2\sqrt{a}}}{\sqrt{a}}$
12	Рационализирайте знаменателя на израза: $A = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$	Пресметнете сумата: $B = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$
13	Рационализирайте знаменателя: $A = \frac{12}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$	Рационализирайте знаменателя на дробта: $B = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$
14	Опростете израза при $x > 0, x \neq 1$ : $A = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \right)$	(УАСГ, 2014) Намерете множествата от допустими стойности на $x$ и опростете ирационалния израз: $A(x) = \left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \cdot \left( 1 - \frac{2}{x+1} \right)$
15	Намерете ДС и опростете за $x > 0, y > 0, x \neq y$ : $A = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y} : \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$	(УАСГ, 2017) Опростете израза и намерете допустимите му стойности: $A(a, b) = \left( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt{a b}} \right)^{-1} + \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} \right)^{-1} : \frac{a \sqrt{b} + b \sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
16	Намерете ДС и опростете израза ( $a > 0, b > 0, a \neq b$ ): $A = \frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{a \sqrt{a} + b \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab} + b}$	Опростете израза за $a > 0, b > 0, a \neq b$ : $B = \left( \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{ab} \right) : (a - b) + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
17	Освободете се от ирационалност в знаменателя: $A = \frac{6}{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{2}}$	Опростете израза за $a \neq b$ : $B = \frac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$
18	Пресметнете стойността на израза: $A = \left( 27^{\frac{2}{3}} - 16^{\frac{3}{4}} \right) \cdot 5^{-1}$	Пресметнете стойността на израза: $B = \frac{2 \cdot 3^{n+1} - 5 \cdot 3^n}{3^{n-1} + 3^n} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}$
19	Опростете степените за $x > 0$ : $A = \left( x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} \right)^2 - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$	Опростете израза за $x > 0$ : $B = \left( \frac{x^{\frac{3}{2}} + 8}{x^{\frac{1}{2}} + 2} - 2x^{\frac{1}{2}} \right) : (x - 2x^{\frac{1}{2}} + 4)$
20	Опростете израза с вложени корени ( $x \ge 0$ ): $A = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}$	Опростете израза и намерете ДС за $a > 0, a \neq 1$ : $B = \sqrt{\frac{a+1}{a-1} \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}} \cdot \left( a^2 - 1 \right)^{\frac{1}{4}}$

© София-Мат ЕООД

…

1. Рационални изрази и тъждествени преобразувания

Рационален израз е всеки израз, който съдържа действията събиране, изваждане, умножение и деление върху променливи и числа, без променливите да са под знак за корен.

Основни алгебрични техники и формули:

Формули за съкратено умножение:
- $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
- $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
- $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
- $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Разлагане на квадратния тричлен $ax^2 + bx + c$ :
- Ако $D = b^2 - 4ac \ge 0$ и нулите са $x_1$ и $x_2$ , то:
  
  $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
Основно свойство на дробта и привеждане под общ знаменател:
- При опростяване на рационални изрази първо се разлагат знаменателите на множители, за да се намери най-малкото общо кратно (НОК).

Обобщение на допустимите стойности (ДС):

При рационалните изрази знаменателят никога не може да бъде равен на нула.

\frac{A(x)}{B(x)} \implies \text{ОД: } B(x) \neq 0

2. Квадратни корени и свойства

Квадратен корен от неотрицателно число

a \ge 0

е единственото неотрицателно число

y \ge 0

, за което

y^2 = a

. Обозначава се с

\sqrt{a}

Основни свойства ( $a \ge 0, b \ge 0$ ):

$(\sqrt{a})^2 = a$ за $a \ge 0$
Важно тъждество: $\sqrt{a^2} = \vert{}a\vert{}$ (важен капан на изпитите в ТУ и УАСГ)
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ( $b > 0$ )
Внасяне/изнасяне пред корен: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ при $a \ge 0$ (ако $a < 0$ , то $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$ )
Сложени (вложени) корени (Формули на Лагранж):

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \quad (a \ge 0, b \ge 0, a^2 - b \ge 0)$

3. Ирационални изрази и определяне на област от допустими стойности (ДС)

Ирационален е всеки алгебричен израз, в който поне една променлива се намира под знак за корен.

Правила за определяне на Областта от Допустими Стойности (ДС):

Четен корен: Изразът под корен с четен показател ( $2n$ ) трябва да бъде неотрицателен:

$\sqrt[2n]{f(x)} \implies \text{ОД: } f(x) \ge 0$
Нечетен корен: Изразът под корен с нечетен показател ( $2n+1$ ) е дефиниран за всяко реално число:

$\sqrt[2n+1]{f(x)} \implies \text{ОД: } x \in \mathbb{R}$
Комбинирани изрази (знаменател и четен корен):
- Ако четен корен е в знаменател: $\frac{1}{\sqrt[2n]{f(x)}} \implies \text{ОД: } f(x) > 0$
- При сложни ирационални изрази ДС се пресича (сечение на средите):
  
  $\text{Израз: } \frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)} + \sqrt[4]{h(x)} \implies \text{ОД: } \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \neq 0 \\ h(x) \ge 0 \end{cases}$