Работа, работа

Това са задачи, в които някой върши работа (човек, машина, кран, тръба и т.н.) за определено време.

Основната идея е: Колкото по-бързо работиш, толкова по-малко време ти трябва.

1. Формулата

За да решим такава задача, използваме зависимостта:

A = P \cdot t

$A$ (Работа): Цялата извършена работа. Ако тя не е зададена като конкретно число (например 20 детайла), приемаме, че целият обект е 1 (една цяла работа).
$P$ (Производителност): Колко работа се върши за единица време (час, ден). Това е най-важният елемент.
$t$ (Време): Времето, за което се извършва работата.

2. Производителност ( $P$ )?

Ако знаем, че някой сам свършва една работа за $x$ часа, то неговата производителност е $\frac{1}{x}$ (част от работата за 1 час).

Пример:

Ако Иван боядисва една стена за 5 часа, неговата производителност е 1/5 стена на час.
Ако Петър я боядисва за 3 часа, неговата производителност е 1/3 стена на час.
Aко Димитър решава 15 задачи за половин час, неговата производелност е 30 задачи на час.

Производителност = работа за единица време

Тя много прилича на скоростта от формулата за път и време.

3. Алгоритъм за решаване (с таблица)

Най-лесният начин е да си начертаете таблица с колони: Производителност ( $P$ ), Време ( $t$ ) и Работа ( $A$ ).

Субект	Производителност (P)	Време (t)	Работа (A=P⋅t)
Работник 1	$1/x$	$t_1$	$\frac{t_1}{x}$
Работник 2	$1/y$	$t_2$	$\frac{t_2}{y}$

Уравнението се съставя въз основа на извършената работа:

A_1 + A_2 = \text{Общата работа}

(Обикновено сумата от частите е равна на 1)

4. Примерна задача

Условие: Една тръба може да напълни басейн за 6 часа, а втора тръба – за 12 часа. За колко часа двете тръби заедно ще напълнят басейна?

Решение:

Първа тръба: производителност $P_1 = 1/6$ .
Втора тръба: производителност $P_2 = 1/12$ .
Време заедно: означено с $x$ .
Уравнение:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 1$
Намираме общ знаменател (12):
$2x + x = 12 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$

Отговор: Двете тръби ще напълнят басейна за 4 часа.

За какво да внимаваш?

Мерни единици: Винаги превръщай минутите в часове (напр. 20 мин = 20/60 = 1/3 ч.), преди да смяташ.
Различни времена: Често един работник започва по-рано. Тогава неговото време в таблицата ще бъде $x + \text{разликата}$ .
Празнене на басейн: Ако една тръба пълни, а друга източва, работата на втората се пише с минус (напр. $\frac{x}{6} - \frac{x}{12} = 1$ ).

I. Базови задачи

Един работник може да свърши работа за 6 дни, а друг – за 12 дни. За колко дни ще свършат работата двамата заедно?
Първата тръба пълни басейн за 4 часа, а втората – за 12 часа. За колко часа ще се напълни басейнът, ако се отворят и двете тръби?
Майстор боядисва стая за 5 часа, а чиракът му – за 10 часа. За колко време ще боядисат стаята заедно?
Една машина опакова количество стока за 8 часа, а друга – за 24 часа. Колко часа са нужни на двете машини?
Трима работници могат да почистят парк съответно за 2, 3 и 6 часа. За колко време ще го почистят заедно?
Иван може да окоси ливада за 4 часа, а Петър – за 6 часа. Иван започнал работа в 8:00 ч., а Петър се присъединил към него в 9:00 ч. В колко часа е била окосена ливадата?
Тръба А пълни басейн за 10 часа. Тя била отворена в 10:00 ч., а в 12:00 ч. била отворена втора тръба Б, която сама пълни басейна за 15 часа. Кога се е напълнил басейнът?
Шивачка може да ушие поръчка за 9 дни. След като работила 3 дни сама, на помощ дошла нейна колежка, която може да ушие поръчката за 6 дни. За колко дни е завършена поръчката?
Трактор може да изоре блок за 12 часа. Той работил сам 2 часа, след което се включил втори трактор с производителност 1.5 пъти по-голяма от първия. За колко часа е изоран блокът?
Един багер изкопава изкоп за 15 часа. Той работил 3 часа сам, след което дошъл втори багер и заедно довършили работата за още 4 часа. За колко часа вторият багер сам би изкопал изкопа?
Тръба А пълни басейн за 4 часа, а тръба Б го изпразва за 6 часа. За колко часа ще се напълни басейнът, ако са отворени и двете?
Басейн се пълни от една тръба за 8 часа и се изпразва от втора за 10 часа. Ако басейнът е пълен до половината и се отворят двете тръби, след колко часа ще се напълни целият?
Тръба пълни басейн за 3 часа. След 1 час работа се оказало, че отточната тръба (която празни басейна за 5 часа) е била отворена през цялото време. Колко време още е нужно за напълването му?
Автомат произвежда 150 детайла за 3 часа. Друг автомат произвежда 150 детайла за 2 часа. За колко часа двата автомата ще произведат общо 500 детайла?
Машинописка пише по 12 страници на час. Друга пише по 15 страници на час. Трябва да напишат общо 108 страници. Втората започнала 1 час по-късно. Колко страници е написала всяка?
Цех трябва да изработи 240 стола. Първата бригада прави по 20 стола на ден, а втората – по 30. Колко дни ще са им нужни, ако работят заедно?
Един работник може да извърши дадена работа за 20 дни. След като работил 5 дни, той увеличил производителността си с 25%. За колко дни общо е завършена работата?
Екип от работници трябвало да изпълни поръчка за 10 дни. Те обаче работили с по 2 детайла повече на ден и приключили за 8 дни. Колко детайла е била цялата поръчка?
Майстор и чирак трябва да боядисат ограда. Майсторът сам би я боядисал за 6 часа, а чиракът – за 12. Майсторът работил 2 часа сам, а останалата част довършили двамата заедно. Каква част от работата е свършил чиракът?
Три тръби пълнят басейн. Първата пълни 1/3 от него за 2 часа, втората – 1/4 за 3 часа, а третата го пълни целия за 6 часа. За колко време ще го напълнят трите заедно?

II. Задачи с промяна на производителността и времето

Един работник може да изпълни поръчка за 15 часа. Той работил сам 3 часа, след което увеличил производителността си с 25%. За колко общо часа е изпълнена цялата поръчка?
Група работници трябвало да окосят нива за 12 дни. Първите 4 дни те работили по план, но след това двама от тях се разболели и производителността на групата спаднала с 20%. С колко дни се е забавило приключването на работата?
Трактор трябвало да изоре блок за определено време, като изорава по 120 дка на ден. Първите 2 дни той работил по норма, а след това увеличил нормата си с 25% и завършил работата 1 ден по-рано от предвиденото. Колко декара е целият блок?
Стругар изработва по 24 детайла дневно. След като работил 5 дни по тази норма, той започнал да прави с по 4 детайла повече на ден и затова 2 дни преди срока му останали само 12 детайла. За колко дни е трябвало да приключи поръчката по план?
Екип от специалисти планирал да завърши проект за 20 дни. След 5 дни работа те въвели нов софтуер, който увеличил производителността им с 1/3. Колко дни общо е отнела работата по проекта?
Басейн се пълни от две тръби. Първата сама може да го напълни за 8 часа, а втората – за 12 часа. Първоначално била отворена само първата тръба за известно време, а след това я затворили и отворили втората. Ако общо басейнът се е напълнил за 10 часа, колко часа е работила всяка тръба?
Тръба пълни басейн за 6 часа, а отточен канал го изпразва за 9 часа. В 8:00 ч. сутринта тръбата била отворена, а в 10:00 ч. бил отворен и каналът. В колко часа басейнът ще бъде пълен на 75%?
Басейн има три тръби. Първите две го пълнят съответно за 10 ч. и 15 ч., а третата го изпразва за 12 ч. Първата работила 2 часа сама, след което били отворени и трите едновременно. За колко часа се е напълнил басейнът?
Две тръби пълнят басейн заедно за 4 часа. Първата тръба работи с 50% по-голяма производителност от втората. За колко часа всяка тръба сама би напълнила басейна?
Воден резервоар се пълни от една тръба за 4 часа. След 1 час работа се отворил дефектен кран, през който започнало да изтича количество вода, равно на 1/3 от притока. За колко часа общо се е напълнил резервоарът?
Две бригади трябва да асфалтират път. Първата може да свърши работата за 20 дни, а втората – за 30 дни. Втората бригада започнала работа 5 дни по-рано от първата. Колко дни е работила първата бригада до завършването на пътя?
Един автоматизиран цех трябва да произведе 600 елемента. Първата машина произвежда 40 елемента на час. Тя работила 3 часа, след което се включила втора машина. Двете заедно довършили поръчката за още 7 часа. Каква е производителността на втората машина?
Трима майстори боядисват сграда. Първият може да я боядиса за 12 дни, вторият – за 15 дни, а третият – за 20 дни. Първият и вторият работили заедно 2 дни, след което първият напуснал, а се включил третият. След колко дни е била завършена сградата?
Шивашка фирма получила поръчка за униформи. Първият цех може да я изпълни за 18 дни, а вторият – за 12 дни. Първоначално работил само първият цех, а последните 3 дни се включил и вторият. Колко дни е работил само първият цех?
Един работник свършва 40% от една работа за 4 часа. Друг работник свършва 1/3 от останалата работа за 2 часа. За колко часа двамата заедно ще свършат цялата работа?
Една фирма трябва да почисти 480 кв. м. стъклени витрини. Първата бригада чисти по 15 кв. м. на час, а втората – с 20% по-бързо. Ако втората бригада започне 2 часа след първата, в колко часа ще приключат, ако първата е започнала в 9:00 ч.?
Майстор и чирак трябва да изработят детайли. Майсторът изработва един детайл за 20 мин, а чиракът – за 30 мин. За 4 часа и 10 минути те изработили общо количество детайли, като майсторът почивал 30 мин през това време. Колко детайла е изработил всеки?
Една работа може да бъде свършена от А за 10 дни, от Б – за 15 дни и от В – за 20 дни. Те работили заедно известно време, след което Б и В напуснали, а А довършил останалите 25% от работата за 2.5 дни. Колко дни са работили тримата заедно?
Две машини трябвало да произведат общо 3600 болта. Първата работила 5 часа, а втората – 4 часа, като втората произвеждала по 100 болта на час повече от първата. Намерете производителността на всяка машина.
За почистването на сняг от летище са изпратени три снегорина. Първият може да почисти летището за 6 часа, вторият – за 9 часа, а третият – за 12 часа. Първият работил 1 час и бил спрян за ремонт. Другите два го заместили и работили заедно 2 часа, след което първият отново се включил. Колко минути след завръщането на първия снегорин е приключило почистването?

Съвет за НВО: Винаги започвай решението си с дефиниране на производителността ( $P = 1/t$ ) и съставяне на таблица. В задачите от втора част се изисква подробно описание на модела – затова не пропускай да запишеш какво означаваш с $x$ .