Пропорционалните отсечки и Теоремата на Талес са основни понятия в геометрията, които се занимават със съотношенията между дължините на отсечки, образувани от успоредни прави.
1. Пропорционални отсечки
Две отсечки $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{CD}$ са пропорционални на две други отсечки $\mathbf{A’B’}$ и $\mathbf{C’D’}$, ако отношението на дължините на първата двойка е равно на отношението на дължините на втората двойка.
Математически това се записва така:
В по-общ смисъл, две редици от отсечки са пропорционални, ако отношенията на съответните отсечки са равни на едно и също число.
2. Теорема на Талес (Първа формулировка)
Теоремата на Талес, наречена на древногръцкия математик Талес от Милет, е ключова за разбирането на пропорционалността в геометрията.
‘Ако успоредни прави пресичат две прави (наречени трансверзали или секущи), то те отсичат от трансверзалите пропорционални отсечки.’
source: Wikipedia commons
Нека имаме две пресичащи се прави $a$ и $b$. Нека $l_1$, $l_2$, $l_3$ са три успоредни прави, които пресичат $a$ в точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $b$ в точки $B_1$, $B_2$, $B_3$.
Тогава теоремата твърди, че:
Важно: Отношението на частите от едната трансверзала е равно на отношението на съответните части от другата трансверзала.
3. Следствия от Теоремата на Талес
Следствие 1 (Деление на отсечка):
Ако няколко успоредни прави отсичат равни отсечки от една трансверзала, то те отсичат равни отсечки и от всяка друга трансверзала.
- Ако $A_1 A_2 = A_2 A_3$, то задължително $B_1 B_2 = B_2 B_3$.
Следствие 2 (Отношение на отсечките от върха):
Ако две прави $a$ и $b$ се пресичат в точка $O$, и успоредна права $l$ пресича $a$ и $b$ съответно в точки $A$ и $B$, то:
където $A_1$ и $B_1$ са точки от правите $a$ и $b$, образувани от друга успоредна права.
4. Приложение на Теоремата на Талес
Теоремата на Талес се използва за:
- Намиране на неизвестна дължина на отсечка, когато са известни други три дължини и е налице конфигурация от успоредни и пресичащи се прави.
- Доказване на пропорционалност на отсечки в по-сложни геометрични фигури.
- Разделяне на отсечка на произволен брой равни или пропорционални части (конструктивна задача).
5. Теорема за ъглополовящата на триъгълник (Свързана концепция)
Въпреки че не е пряко Теорема на Талес, тя е тясно свързана с пропорционалните отсечки:
- Теорема: Ъглополовящата на вътрешен ъгъл на триъгълник дели срещулежащата страна на отсечки, пропорционални на прилежащите страни на триъгълника.
- Ако $CL$ е ъглополовяща на $\angle C$ в $\triangle ABC$ и $L$ е върху $AB$, то:
Въпроси:
1. Дефиниция за пропорционални отсечки: Кога две отсечки $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{CD}$ са пропорционални на други две отсечки $\mathbf{A’B’}$ и $\mathbf{C’D’}$? Запишете съотношението.
2. Формулировка на Теоремата на Талес: Формулирайте точно Теоремата на Талес, като посочите какви прави участват (успоредни, трансверзали) и какъв е резултатът по отношение на отсечките.
3. Обратна Теорема на Талес (Формулировка): Какво гласи обратната Теорема на Талес и за какво се използва тя в геометрията?
4. Следствие за равните отсечки: Какво следва от Теоремата на Талес, ако успоредните прави отсичат равни отсечки от едната трансверзала?
5. Приложение в триъгълник: Какъв е резултатът от прилагането на Теоремата на Талес в триъгълник, когато права, успоредна на една от страните, пресича другите две?
6. Основно свойство на пропорциите: Ако имаме $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, запишете две други еквивалентни пропорции, които следват от това равенство (напр. размяна на членове).
7. Теорема за ъглополовящата (Формулировка): Формулирайте Теоремата за ъглополовящата на вътрешен ъгъл в триъгълник и запишете пропорционалното равенство, което тя установява.
8. Разлика между Талес и ъглополовящата: Каква е основната геометрична разлика между конфигурацията, в която се прилага Теоремата на Талес, и конфигурацията, в която се прилага Теоремата за ъглополовящата? (Кои линии са успоредни/ъглополовящи?)
9. Разделяне на отсечка (Теоретично): Обяснете как Теоремата на Талес дава теоретичната обосновка за геометричното построяване на разделяне на дадена отсечка на произволен брой равни части.
10. Връзка с подобието: Каква е връзката между Теоремата на Талес и критериите за подобие на триъгълници? (Кой критерий се доказва или следва пряко от Талес?)
Задачи
Задача 1 (Основна Теорема): Две успоредни прави $l_1$ и $l_2$ пресичат трансверзалите $a$ и $b$.
- На права $a$: $A_1 A_2 = 12 \text{ cm}$ и $A_2 A_3 = 8 \text{ cm}$.
- На права $b$: $B_1 B_2 = x$ и $B_2 B_3 = 6 \text{ cm}$.Намерете дължината на отсечката $x$.
Задача 2 (Следствие): Две прави $a$ и $b$ се пресичат в точка $O$. През тях са прекарани две успоредни прави, които пресичат $a$ в $A_1$, $A_2$ и $b$ в $B_1$, $B_2$. Ако $OA_1 = 4 \text{ cm}$, $A_1 A_2 = 6 \text{ cm}$ и $OB_2 = 15 \text{ cm}$, намерете дължината на отсечката $OB_1$.
Задача 3 (Средна отсечка): В $\triangle ABC$, точки $M$ и $N$ са среди съответно на страните $AB$ и $AC$. Ако $BC = 18 \text{ cm}$, колко е дължината на отсечката $MN$? Какво може да се каже за правата $MN$ спрямо $BC$?
Задача 4 (Обратна Теорема): В $\triangle PQR$, точка $S$ лежи на $PQ$, а $T$ лежи на $PR$. Известно е, че $PS = 9 \text{ cm}$, $SQ = 6 \text{ cm}$, $PT = 12 \text{ cm}$ и $TR = 8 \text{ cm}$. Докажете, че отсечката $ST$ е успоредна на страната $QR$.
Задача 5 (Теорема за ъглополовящата): В $\triangle ABC$, страните са $AB = 10 \text{ cm}$ и $AC = 15 \text{ cm}$. Ъглополовящата $AL$ на $\angle A$ дели страната $BC$ на две отсечки. Ако $BC = 20 \text{ cm}$, намерете дължините на отсечките $BL$ и $LC$.
Задача 6 (Пропорции в бедрата): В трапец $ABCD$ ($AB \parallel CD$), права, успоредна на основите, пресича бедрото $AD$ в точка $M$ и бедрото $BC$ в точка $N$. Ако $AM = 4 \text{ cm}$, $MD = 6 \text{ cm}$ и $BC = 25 \text{ cm}$, намерете дължините на отсечките $BN$ и $NC$.
Задача 7 (Отсечка през пресечната точка на диагоналите): В трапец $ABCD$ с основи $AB = 12 \text{ cm}$ и $CD = 6 \text{ cm}$, диагоналите се пресичат в точка $O$. Права, успоредна на основите, минава през $O$ и пресича бедрата в точки $P$ и $Q$. Намерете дължината на отсечката $PQ$.
(Упътване: Разгледайте $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$ поотделно.)
Задача 8 (Ъглополовяща и периметър): В $\triangle XYZ$, ъглополовящата $ZL$ дели страната $XY$ в отношение $XL:LY = 3:4$. Ако $XZ = 9 \text{ cm}$, намерете дължината на страната $YZ$.
Задача 9 (Успоредник и пресечни точки): В успоредника $ABCD$, точка $E$ лежи на страната $BC$, така че $BE:EC = 1:3$. Отсечката $AE$ пресича продължението на страната $DC$ в точка $F$. Ако $DC = 8 \text{ cm}$, намерете дължината на $CF$.
Задача 10 (Скрита успоредност): В $\triangle ABC$, точка $D$ е среда на $BC$. Точка $E$ лежи на $AD$, като $AE:ED = 2:1$. Правата $BE$ пресича $AC$ в точка $F$. Намерете отношението $\frac{AF}{FC}$.
(Упътване: Постройте права през $D$, успоредна на $BF$, която пресича $AC$. Приложете Талес два пъти.)
Предизвикателни задачи
1. Доказателство за средната отсечка: Докажете, че ако отсечка съединява средите на две страни на триъгълник, то тя е успоредна на третата страна и е равна на половината от нейната дължина. (Използвайте Теоремата на Талес)
2. Разширение на Теоремата (Трансверзали в обща точка): Две прави $a$ и $b$ се пресичат в точка $O$. Успоредните прави $l_1$ и $l_2$ пресичат $a$ в $A_1$, $A_2$ и $b$ в $B_1$, $B_2$. Докажете, че $\frac{OA_1}{A_1 A_2} = \frac{OB_1}{B_1 B_2}$.
3. Приложение на ъглополовящата: В $\triangle ABC$ ъглополовящата $AL$ дели страната $BC$ на отсечки $BL = 5 \text{ cm}$ и $LC = 7 \text{ cm}$. Ако периметърът на триъгълника е $36 \text{ cm}$, намерете дължините на страните $AB$ и $AC$.
4. Обратна Теорема на Талес в триъгълник: В $\triangle ABC$ точка $D$ лежи на $AB$, а точка $E$ лежи на $AC$. Ако $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, докажете, че отсечката $DE$ е успоредна на $BC$.
5. Медиана и успоредна права: В $\triangle ABC$, $M$ е средата на страната $AB$. През $M$ е прекарана права, успоредна на $BC$, която пресича $AC$ в точка $N$. Ако $AC = 10 \text{ cm}$, намерете дължината на отсечката $AN$.
6. Отсечка, успоредна на основите на трапец: В трапеца $ABCD$ ($AB \parallel CD$) отсечката $MN$ ($M$ на $AD$, $N$ на $BC$) е успоредна на основите. Докажете, че $\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}$.
7. Дължина на отсечка в трапец: В трапец $ABCD$ ($AB \parallel CD$), диагоналите се пресичат в $O$. През $O$ е прекарана отсечка $PQ$ ($P$ на $AD$, $Q$ на $BC$), успоредна на основите. Ако $AB = a$ и $CD = b$, намерете дължината на отсечката $PQ$.
8. Разделяне на отсечка на равни части (Конструктивна задача): Опишете (без да чертаете) как бихте разделили дадена отсечка на $5$ равни части, използвайки само линийка (без деления) и пергел.
9. Построяване на пропорционални отсечки: Дадени са отсечки с дължини $a$, $b$, и $c$. Постройте (опишете) отсечка $x$, така че $x$ да бъде четвърта пропорционална на $a$, $b$ и $c$, т.е. $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$.
10. Взаимоотношение на отсечки в успоредник: В успоредника $ABCD$, точка $E$ лежи на страната $CD$, така че $CE:ED = 1:2$. Отсечката $AE$ пресича диагонала $BD$ в точка $F$. Намерете отношението $\frac{BF}{FD}$.
© София-Мат ЕООД
