„Групите“ са в основата на съвременната математика. Ето как работят. – Списание Quanta
Математиката започна с числа – ясни, конкретни, интуитивни. Над през последните два века обаче тя се превърна в много по-абстрактно начинание.
Една от първите големи стъпки по този път е направена в края на 18-ти и началото на 19-ти век. Тя включва област, наречена теория на групите, и промени математиката – теоретична и приложна – такава, каквато я познаваме.
Групите обобщават основните свойства на целите числа. Те са
трансформирали геометрията, алгебрата и анализа, математическото изследване на плавно променящите се функции. Те се използват за криптиране на съобщения (отваря нов раздел) и изучаване на формите на вируси (отваря нов раздел). Физиците разчитат на тях (отваря нов раздел), за да обединят фундаменталните сили на природата: При високи енергии груповата теория може да се използва, за да покаже, че електромагнетизмът и силите, които държат атомните ядра заедно и причиняват радиоактивност, са проявления на една единствена основна сила .
Терминът „група“ в математически контекст е въведен през 1830 г. от Еварист Галоа, френско дете-чудо, само на 18 години по това време. (Две години по-късно той ще бъде убит в дуел, след като вече е променил хода на математическата история.) Но той не открива групи сам. „Не е като група математици да се съберат един ден и да кажат: „Нека създадем абстрактна структура само за смях“, каза Сара Харт, групов теоретик в Gresham College в Лондон. „Постепенно стана ясно, може би в продължение на 50 години през 19 век, че това са правилните правила, които трябва да се изискват. Те ви дават най-голяма гъвкавост и обобщеност, като същевременно ви позволяват да докажете нещата.“
Обществено достояние
Групата е набор или колекция от обекти, заедно с операция, която приема два обекта и извежда трети. Вероятно най-простият пример са целите числа и операцията събиране. Групите трябва да отговарят на четири правила.
Първото се нарича затваряне: Добавете произволни две цели числа и ще получите друго цяло число.
Второто правило се нарича асоциативност: ако съберете три числа заедно, резултатът не зависи от това как ги групирате. Можете да добавите 3 и 4, за да получите 7, след това да добавите 5, за да получите 12. Или можете да добавите 3 към сбора от 4 и 5. Така или иначе пак ще получите същия отговор: 12 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5). Третото правило е, че групата трябва да съдържа елемент, който оставя останалите елементи на групата непроменени, наречен елемент на идентичност. Числото нула е идентичността за добавяне, тъй като добавянето на нула към число запазва това число същото.
И накрая, всеки групов елемент трябва да има обратен елемент – добавете елемент и неговия обратен елемент и ще получите
идентичността. При целите числа обратното на число е неговото отрицателно. Например 3 + (−3) = 0.
За да разберем значението на тези четири свойства, е полезно да разгледаме един забележителен пропуск. Когато събирате две числа заедно, можете да промените реда, без това да повлияе на резултата: 3 + 5 е същото като 5 + 3. Това свойство се нарича комутативност. Но няма изискване групите да са комутативни. Като направиха това свойство незадължително, математиците успяха да изследват богато разнообразие от структури….
Д-р Матлав или: Как се научих да спра да се тревожа и да обичам математиката И все пак, подобно на филма, където паниката и страхът бяха водени от неразбиране и прекомерна реакция, нашето колективно безпокойство около математиката често
произлиза от…
връзка
Математиката има забавен начин да изнерви много от нас. Въпреки че бях специалност математика и компютърни науки като студент, понякога математиката ме тревожи. За някои просто чуването на думата
„математика“ предизвиква чувство на страх, подобно на това как напрежението от Студената война в „Д-р Стрейнджлав“ накара света да стои на ръба. И все пак, подобно на филма, където паниката и страхът бяха водени от неразбиране и прекомерна реакция, нашето колективно безпокойство около математиката често произтича от митове и погрешни схващания. За целите на тази статия ще използвам термините математика, числа, данни и анализ донякъде като взаимозаменяеми, тъй като всички те са тясно свързани помежду си. Независимо дали говорим за решаване на уравнения или интерпретиране на анализи, всичко се свежда до разбирането и ефективното използване на информацията, с която разполагаме.
„Трябва да спрем да поставяме математиката в рамки като предмет, който е само за малцина от елита, и да признаем, че това е нещо, което всеки може да разбере и оцени.“
-д-р Хана Фрай, съвременен математик, писател и професор
Класическият филм от 1964 г. „Д-р Стрейнджлав или: Как се научих да спра да се безпокоя и да обикна бомбата“ е сатиричен поглед върху Студената война, където героите се борят с ирационални страхове, преувеличени заплахи и неспособност да се справят логично със своите тревоги. Централното послание е ясно: самият страх често е
най-големият враг. Математическата тревожност е почти същата. Увеличаваме страховете си до степен, в която математиката се чувства като непреодолимо предизвикателство – когато в действителност тя е просто инструмент, подобно на числата в ежедневието ни. Точно както героите във филма трябваше да преодолеят паниката си, за да вземат рационални решения, ние трябва да преформулираме начина, по който гледаме на математиката. Вместо да го възприемаме като нещо, от което да се страхуваме, можем да го разглеждаме като полезно умение, което отваря врати за решаване на проблеми, по-добро вземане на решения и по-дълбоко разбиране на света около нас.
Освен страха – различните начини, по които хората подхождат към математиката
От друга страна, има и такива, които подхождат към математиката с повишено чувство на увереност, дори когато грешат. Те се промъкват, убедени, че имат отговорите, и често пропускат нюанса и красотата на темата. Тази свръхувереност може да бъде също толкова опасна, колкото и безпокойството – води до грешки, пропуснати възможности за учене и пренебрежение към онези, които се борят. Както при всяко умение, истинското разбиране на математиката изисква смесица от смирение и любопитство. Сблъсквал съм се с този тип свръхувереност от първа ръка, особено когато се занимавам с данни и анализи. Едно преживяване, което се откроява, се случи по време на презентация, в която обсъждах маркетинговата ефективност.
По време на тази презентация цитирах статистика за ефективността на маркетинга и преди дори да успея да завърша изявлението си, член от публиката избухна, че съм грешал. Твърдяха, че имам номерата назад. Учтиво ги помолих да ми позволят да завърша мисълта си, която включваше цитиране на моя източник на данни. Дори оспориха това. Приех възражението им и продължих с презентацията. Докато продължавах да говоря, забелязах, че телефонът им е изваден и ясно търсят отговора. След презентацията ги видях да се опитват да излязат бързо към вратата. По ирония на съдбата се натъкнах на същия човек по-късно през деня на друго местно събитие. Учтиво попитах дали са намерили отговора, който търсеха. Човекът призна, че моят цитат е проверен, но все още не е съгласен с моето твърдение и ще продължи да разглежда ситуацията. Не винаги съм прав и ще бъда първият, който ще признае, че често транспонирам числа или правя грешки в изчисленията. Но на някои хора им е трудно да грешат и тяхната прекомерна самоувереност разубеждава другите да се ангажират. Добре е да имате малко
здравословен скептицизъм, но доведено до крайност, това може да се превърне в погрешно прекалено самочувствие, което отблъсква хората.
Освен хората, които са твърде уверени или се страхуват от
математиката, някои злоупотребяват с нея изцяло. Те са склонни да изкривяват статистики или числа, за да се поберат в фалшив разказ. Независимо дали става дума за подбрани данни или погрешно представяне на статистика, за да се подчертае, този подход е опасен, особено в маркетинга, където анализите играят решаваща роля при вземането на решения. Някои собственици на бизнес надценяват значението на показателите, като ги третират като край на всичко, без да отчитат истинското въздействие или важност на това, което гледат. Например, понякога злоупотребата е погрешна, но не непременно вредна, както в случая с „суетни показатели“. Много често се случва бизнесите, особено малките предприятия и организациите с нестопанска цел, да бъдат влюбени в харесвания в социалните медии на конкретни публикации, без да разглеждат по-важни анализи, които показват устойчива маркетингова ефективност. Показателите за суета могат да подведат организациите да губят ресурси, за да „победят алгоритмите“ в фалшив стремеж да станат „вирусни“.
„Направете математиката!“ празнува 23-ти сезон с ново студио – YouTube YouTube
връзка
Разкриване на математиката зад вашия календар – The Daily | Case Western Reserve университет
Ежедневникът | Университет Кейс Уестърн Резерв
Изследователите са използвали математическо моделиране, за да изчислят вероятността от
успешно насрочване на среща въз основа на няколко фактора: броя на …
връзка
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
