3.13 Геометрия – обиколка и лице - Школа по математика и БЕЛ София-Мат

Таблица 1

№	Колона А (Подготвителна задача)	Колона Б (Състезателна задачи)
1	Обиколката на квадрат е 28 см. Колко квадратни сантиметра е лицето му?	Обиколката на квадрат е 24 см. Намерете лицето на квадрата в квадратни сантиметри. (МБГ, Есен 2018)
2	Лицето на квадрат е 36 кв. см. Намерете обиколката (периметъра) на този квадрат в сантиметри.	Страната на квадрат е 1 дм 2 см. Намерете обиколката му в сантиметри и лицето му в квадратни сантиметри. (СГП, 2020)
3	Страната на квадрат е 50 мм. Намерете обиколката му в сантиметри и лицето му в квадратни сантиметри.	Правоъгълен двор с дължина 15 м и ширина 8 м трябва да се огради с ограда, като се остави вход с ширина 2 м. Колко метра е дължината на оградата и колко квадратни метра е площта на двора? (ЕК, 2018)
4	Лицето на правоъгълник е 45 кв. см, а дължината му е 9 см. Пресметнете обиколката на правоъгълника.	Лицето на правоъгълник е 32 кв. см, а едната му страна е 4 см. Колко сантиметра е обиколката на правоъгълника? (МБГ, Зима 2020)
5	Обиколката на правоъгълник е 26 см, а едната му страна е 8 см. Намерете лицето на правоъгълника.	Едната страна на правоъгълник е 12 см, а другата е 3 пъти по-къса от нея. Намерете обиколката и лицето на правоъгълника. (ХП, 2019)
6	Ширината на правоъгълник е 5 см, а дължината му е 3 пъти по-голяма от ширината. Намерете обиколката и лицето на правоъгълника.	Обиколката на правоъгълник е 36 см, като дължината му е 2 пъти по-голяма от ширината. Намерете лицето на правоъгълника в квадратни сантиметри. (МБГ, Пролет 2021)
7	Обиколката на правоъгълник е 30 см, като дължината му е с 3 см по-голяма от ширината. Колко квадратни сантиметра е лицето му?	От квадратен лист хартия със страна 10 см е изрязан правоъгълник със страни 3 см и 4 см. Колко квадратни сантиметра е лицето на останалата част от листа? (МБГ, Есен 2021)
8	Правоъгълник със страни 4 см и 9 см има същото лице като квадрат. Колко сантиметра е обиколката на квадрата?	Правоъгълник със страни 2 см и 8 см има същото лице като квадрат. Колко сантиметра е обиколката на квадрата? (ЕК, 2017)
9	Квадрат със страна 6 см и правоъгълник с дължина 8 см имат равни обиколки. Намерете лицето на правоъгълника.	Квадрат със страна 7 см и правоъгълник с дължина 9 см имат равни обиколки. Намерете лицето на правоъгълника. (ИС, 2018)
10	От правоъгълник със страни 7 см и 10 см е изрязан възможно най-големият квадрат. Намерете обиколката и лицето на останалата част.	Три еднакви квадрата са наредени в редица един до друг, така че образуват правоъгълник с обиколка 32 см. Намерете лицето на един от квадратите. (МБГ, Есен 2022)
11	Два еднакви квадрата, всеки с обиколка 12 см, са долепени плътно един до друг по цяла страна, така че да образуват правоъгълник. Намерете обиколката и лицето на получения правоъгълник.	Два еднакви квадрата, всеки с лице 25 кв. см, са долепени плътно един до друг по цяла страна, така че да образуват правоъгълник. Намерете обиколката на получения правоъгълник. (ЧХ, 2019)
12	Квадрат с лице 64 кв. см е разрязан по права линия на два еднакви правоъгълника. Намерете обиколката на един от получените правоъгълници.	Квадрат с обиколка 40 см е разрязан по права линия на два еднакви правоъгълника. Намерете лицето и обиколката на един от получените правоъгълници. (ИС, 2021)

За да решаваш лесно всички тези задачи, представи си всяка фигура като двор или шоколад:

Обиколката (Периметърът) е оградата около двора – обикаляш по ръба и събираш дължините на всички страни (измерва се в см, м, дм).
Лицето (Площта) е броя на квадратните парченца шоколад – показва колко място заема фигурата отвътре (измерва се в кв. см, кв. м).

1. Златните формули за Квадрат (всичките 4 страни са равни)

Ако знаеш страната ( $a$ ):
- Обиколка: $4 \cdot a$ (4 еднакви страни)
- Лице: $a \cdot a$ (умножаваш страната сама по себе си)
Ако търсиш страната (наобратно):
- От обиколка: делиш я на 4. (Пример: Обиколка 24 см $\rightarrow 24 : 4 = 6$ см страна).
- От лице: търсиш кое число, умножено по себе си, дава лицето. (Пример: Лице 36 кв. см $\rightarrow 6 \cdot 6 = 36 \rightarrow$ страната е 6 см).

2. Златните формули за Правоъгълник (има дължина $a$ и ширина $b$ )

Ако знаеш страните ( $a$ и $b$ ):
- Обиколка: $2 \cdot a + 2 \cdot b$ или $2 \cdot (a + b)$ (събираш дължината и ширината и умножаваш по 2)
- Лице: $a \cdot b$ (умножаваш дължината по ширината)
Тайният ключ при обиколката – ПОЛУОБИКОЛКАТА:
- Ако разделиш обиколката на 2, получаваш сбора от една дължина и една ширина ( $a + b$ )!
- Пример: Обиколката е 20 см $\rightarrow$ полуобиколката е $20 : 2 = 10$ см. Ако едната страна е 6 см, другата веднага е $10 - 6 = 4$ см.

3. Три хитри трика за състезания

Внимавай с мерните единици! Никога не умножавай и не събирай сантиметри с милиметри или дециметри. Първо ги превърни в една и съща единица (най-често в сантиметри: $1\text{ дм} = 10\text{ см}$ , $1\text{ см} = 10\text{ мм}$ ).
Когато слепяш или режеш фигури:
- Лицето не се губи и не се появява от нищото! Ако разрежеш един голям шоколад на две парчета, общият брой квадратчета (лицето) си остава същият.
- Обиколката се променя! Когато срежеш фигура, на мястото на разреза се появяват две нови вътрешни страни, които увеличават сбора от обиколките. Когато долепиш две фигури, долепените страни се скриват вътре и вече не са част от външната ограда.
Най-големият квадрат в правоъгълник: Ако искаш да изрежеш възможно най-големия квадрат от правоъгълник (например 7 см на 10 см), страната на този квадрат винаги е равна на по-късата страна на правоъгълника (7 см).

Таблица 2: Състезателно ниво

№	Колона А (Подготвителна задача)	Колона Б (Състезателна задача)
1	Ако увеличим всяка страна на един квадрат с 2 см, обиколката му ще стане 36 см. Колко квадратни сантиметра е било лицето на първоначалния квадрат? (МБГ, Пролет 2020)	Ако намалим всяка страна на един квадрат с 3 см, лицето му ще стане 25 кв. см. С колко квадратни сантиметра лицето на първоначалния квадрат е по-голямо от новото?
2	Правоъгълник със страни 4 см и 25 см има същото лице като квадрат. Намерете разликата между обиколките на двете фигури.	Правоъгълник със страни 9 см и 16 см има същото лице като квадрат. С колко сантиметра обиколката на правоъгълника е по-голяма от обиколката на квадрата? (ЕК, 2021)
3	Правоъгълник е сглобен от 4 еднакви квадрата, наредени в една редица, и има лице 100 кв. см. Колко сантиметра е обиколката на този правоъгълник? (ЧХ, 2020)	Правоъгълник е сглобен от 6 еднакви квадрата, наредени в два реда по три, и има лице 96 кв. см. Намерете обиколката на този правоъгълник.
4	Два квадрата имат общ сбор на лицата 100 кв. см. Страната на единия квадрат е 6 см. Намерете обиколката на другия квадрат.	Два квадрата имат общ сбор на лицата 130 кв. см. Страната на единия квадрат е 7 см. Намерете обиколката на другия квадрат. (МБГ, Пролет 2022)
5	Обиколката на правоъгълник е 34 см, а дължината му е с 5 см по-голяма от ширината. Намерете лицето на квадрат, чиято страна е равна на по-малката страна на правоъгълника. (МБГ, Есен 2023)	Обиколката на правоъгълник е 44 см, а дължината му е с 6 см по-голяма от ширината. С колко квадратни сантиметра лицето на този правоъгълник е по-малко от лицето на квадрат със същата обиколка?
6	Едната страна на правоъгълник е 10 см. Ако я намалим с 2 см, а другата страна увеличим с 2 см, ще получим квадрат. Намерете лицето на първоначалния правоъгълник.	Едната страна на правоъгълник е 12 см. Ако намалим тази страна с 3 см, а другата увеличим с 3 см, ще получим квадрат. Намерете лицето на първоначалния правоъгълник. (ИС, 2020)
7	Лицето на квадрат е 81 кв. см. С този квадрат и един правоъгълник е образуван нов голям правоъгълник с лице 117 кв. см (чрез долепване по обща страна). Намерете обиколката на големия правоъгълник. (МБГ, Зима 2022)	Лицето на квадрат е 64 кв. см. До него по цяла страна е долепен правоъгълник, така че обиколката на получения голям правоъгълник е 42 см. Намерете лицето на големия правоъгълник.
8	Правоъгълник е разделен с една права линия на квадрат с лице 25 кв. см и правоъгълник с лице 15 кв. см. Намерете обиколката на целия първоначален правоъгълник.	Правоъгълник е разделен с една права линия на квадрат с лице 49 кв. см и правоъгълник с лице 21 кв. см. Намерете обиколката на целия първоначален правоъгълник. (МБГ, Есен 2024)
9	Квадрат е разрязан на два правоъгълника. Сборът от обиколките на двата правоъгълника е 48 см. Колко квадратни сантиметра е лицето на първоначалния квадрат? (МБГ, Зима 2019)	Квадрат е разрязан с две успоредни прави линии на три правоъгълника. Сборът от обиколките на трите правоъгълника е 72 см. Намерете лицето на първоначалния квадрат.
10	Квадрат с обиколка 20 см е разделен с две перпендикулярни прави линии (успоредни на страните му) на 4 правоъгълника. Намерете сбора от обиколките на всичките 4 получени правоъгълника.	Квадрат с обиколка 32 см е разделен с две перпендикулярни прави линии (успоредни на страните му) на 4 правоъгълника. Намерете сбора от обиколките на всичките 4 получени правоъгълника. (ЧХ, 2022)
11	Правоъгълен килим със страни 3 м и 4 м е постлан в средата на правоъгълна стая така, че от всичките му 4 страни до стените на стаята остава непокрита ивица с ширина 1 м. Колко квадратни метра е площта на непокритата част от пода? (ЕК, 2020)	В правоъгълен парк с дължина 20 м и ширина 14 м по целия вътрешен край (покрай оградата) е направена алея с ширина 2 м, а останалата вътрешна правоъгълна част е засята с трева. Намерете обиколката и лицето на затревената площ.
12	От правоъгълник със страни 5 см и 8 см чрез последователно отрязване на най-големия възможен квадрат се получават по-малки квадрати. Колко е лицето на най-малкия получен квадрат?	От правоъгълник със страни 11 см и 17 см по най-оптималния начин са изрязани възможно най-малко на брой квадрати с различни или еднакви размери (чрез последователно отрязване на най-големия възможен квадрат). Колко е лицето на най-малкия получен квадрат? (ХП, 2021)

Домашна работа: Геометрия, Диофантови уравнения и Делимост

№	Колона 1 (Основно ниво)	Колона 2 (Състезателно ниво)
1	Лицето на правоъгълник е $18\text{ кв. см}$ , а страните му са цели числа в сантиметри. Колко сантиметра е най-голямата възможна обиколка на този правоъгълник?	Лицето на правоъгълник е $36\text{ кв. см}$ , а страните му са цели числа в сантиметри. Намерете разликата между най-голямата и най-малката възможна обиколка на такъв правоъгълник. (МБГ, Зима 2021)
2	Страните на правоъгълник с лице $24\text{ кв. см}$ са цели числа в сантиметри. Колко различни такива правоъгълника съществуват (като размерите $3 \times 8$ и $8 \times 3$ се броят за един)?	Страните на правоъгълник с лице $48\text{ кв. см}$ са цели числа, по-големи от $1\text{ см}$ . Колко различни такива правоъгълника могат да се начертаят? (ЕК, 2019)
3	Обиколката на правоъгълник е $16\text{ см}$ , а страните му са цели числа в сантиметри. Кое е най-голямото възможно лице на такъв правоъгълник?	Обиколката на правоъгълник е $22\text{ см}$ , а страните му са цели числа в сантиметри. Намерете сбора от най-голямото и най-малкото възможно лице на такъв правоъгълник. (МБГ, Пролет 2023)
4	Сборът от лицата на два квадрата с цели страни (в сантиметри) е $41\text{ кв. см}$ . Намерете обиколката на по-големия квадрат.	Сборът от лицата на два квадрата с цели страни (в сантиметри) е $85\text{ кв. см}$ . Ако единият квадрат има обиколка $8\text{ см}$ , колко сантиметра е обиколката на другия квадрат? МБГ, Есен 2022)
5	От няколко квадрата със страна $2\text{ см}$ и няколко квадрата със страна $3\text{ см}$ е сглобена фигура без застъпване с общо лице $31\text{ кв. см}$ . По колко квадрата от всеки вид са използвани?	От няколко квадрата със страна $3\text{ см}$ и няколко квадрата със страна $4\text{ см}$ е сглобена фигура без застъпване с общо лице $77\text{ кв. см}$ . Намерете общия брой на всички използвани квадрати. (ХП, 2022)
6	На масата са подредени общо $7$ фигури – триъгълници и квадрати (без общи върхове). Общият брой на всичките им върхове е $25$ . Колко са квадратите?	На лист са начертани общо $9$ фигури – квадрати с обиколка $12\text{ см}$ и правоъгълници с обиколка $16\text{ см}$ . Сборът от обиколките на всички начертани фигури е $124\text{ см}$ . Намерете общото лице на всички квадрати. МБГ, Зима 2023)
7	Две фигури – квадрат и правоъгълник – имат обща страна. Лицето на квадрата е $36\text{ кв. см}$ , а лицето на целия новополучен правоъгълник е число, което се дели на $5$ и е по-малко от $65\text{ кв. см}$ . Намерете обиколката на големия правоъгълник.	Квадрат със страна $7\text{ см}$ и правоъгълник са долепени по цяла страна така, че образуват голям правоъгълник с лице, по-голямо от $70\text{ кв. см}$ и по-малко от $80\text{ кв. см}$ (страните са цели числа в сантиметри). Намерете обиколката на големия правоъгълник. (СГП, 2021)
8	Алекс има тел с дължина $50\text{ см}$ . От нея тя иска да огъне равностранен триъгълник и квадрат с цели страни в сантиметри, като използва цялата тел. Колко е дължината на страната на триъгълника, ако страната на квадрата е по-голяма от нея и се дели на $4$ ?	Камен реди фигури от кибритени клечки: първата е триъгълник ( $3$ клечки), втората е квадрат ( $4$ клечки), третата е петоъгълник ( $5$ клечки), след което редицата се повтаря отначало. Колко общо кибритени клечки е използвал Камен, ако е направил общо $20$ фигури и е приключил с квадрат?