1. Освобождаване от подкоренов квадрат (Модули)
Задача 1.1: Пресметнете стойността на израза:
$$M = \sqrt{(4 – \sqrt{11})^2} + \sqrt{(3 – \sqrt{11})^2}$$
-
Отговор: $1$
Задача 1.2: Опростете израза, ако $x \in (2; 5)$:
$$N = \sqrt{x^2 – 4x + 4} + \sqrt{x^2 – 10x + 25} – \sqrt{(2x – 12)^2}$$
-
Отговор: $2x – 9$
2. Допустими стойности (ДС) на ирационален и рационален израз
Задача 2.1: Намерете допустимите стойности (ДС) на израза:
$$P = \sqrt{\frac{4x + 8}{x – 5}}$$
-
Отговор: $x \in (-\infty; -2] \cup (5; +\infty)$
Задача 2.2: Намерете допустимите стойности (ДС) на израза:
$$Q = \sqrt{\frac{x^2 – 9}{x^2 – 5x + 6}}$$
-
Отговор: $x \in (-\infty; -3] \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$
3. Формули на Виет (Симетрични изрази)
Задача 3.1: Ако $x_1$ и $x_2$ са корените на уравнението $x^2 – 6x + 2 = 0$, намерете стойността на израза $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.
-
Отговор: $16$
Задача 3.2: Ако $x_1$ и $x_2$ са корените на уравнението $2x^2 – 6x – 1 = 0$, намерете стойността на израза $x_1^3 + x_2^3$.
-
Отговор: $\frac{63}{2}$ (или $31,5$)
4. Формули на Виет с параметър и съотношение между корените
Задача 4.1: Намерете всички стойности на параметъра $a$, за които корените на уравнението $x^2 – ax + 12 = 0$ удовлетворяват условието $x_1 = 3x_2$.
-
Отговор: $a = \pm 8$
Задача 4.2: Намерете стойността на параметъра $p$, за която корените на уравнението $x^2 – (p + 1)x + 2p = 0$ удовлетворяват условието $x_1^2 + x_2^2 = 13$.
-
Отговор: $p = 6$ или $p = -2$
5. Най-голяма и най-малка стойност (НГС/НМС) на квадратна функция в затворен интервал
Задача 5.1: Намерете най-голямата стойност (НГС) и най-малката стойност (НМС) на функцията $f(x) = x^2 – 4x + 7$ в затворения интервал $x \in [0; 3]$.
-
Отговор: $\text{НМС} = 3$, $\text{НГС} = 7$
Задача 5.2: Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $g(x) = -2x^2 + 4x + 5$ в затворения интервал $x \in [-1; 2]$.
-
Отговор: $\text{НМС} = -1$, $\text{НГС} = 7$
6. Квадратно неравенство с параметър (За всяко реално $x$)
Задача 6.1: Намерете за кои стойности на параметъра $m$ неравенството $x^2 + 2mx + 16 > 0$ е изпълнено за всяко реално $x$.
-
Отговор: $m \in (-4; 4)$
Задача 6.2: Намерете всички стойности на реалния параметър $a$, за които неравенството $(a – 1)x^2 + 2(a – 1)x + 3 > 0$ е изпълнено за всяко реално число $x$.
-
Отговор: $a \in [1; 4)$
7. Обикновено ирационално уравнение ($\sqrt{f(x)} = g(x)$)
Задача 7.1: Решете ирационалното уравнение:
$$\sqrt{4x + 9} = x + 1$$
-
Отговор: $x = 4$
Задача 7.2: Решете ирационалното уравнение:
$$\sqrt{2x^2 – 5x + 1} = x – 1$$
-
Отговор: $x = 3$
8. Ирационално уравнение с два корена
Задача 8.1: Намерете корените на уравнението:
$$\sqrt{3x + 1} – \sqrt{x – 1} = 2$$
-
Отговор: $x = 1$ и $x = 5$
Задача 8.2: Решете ирационалното уравнение:
$$\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 5$$
-
Отговор: $x = 3$
9. Нелинейна система от две уравнения с две неизвестни
Задача 9.1: Решете системата уравнения:
$$\begin{cases} x – y = 2 \\ x^2 + xy + y^2 = 19 \end{cases}$$
-
Отговор: $(3; 1)$ и $(-1; -3)$
Задача 9.2: Решете симетричната система уравнения:
$$\begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$$
-
Отговор: $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(-3; -4)$ и $(-4; -3)$
10. Уравнение от по-висока степен чрез полагане
Задача 10.1: Решете уравнението:
$$(x^2 + 2x)^2 – 7(x^2 + 2x) – 8 = 0$$
-
Отговор: $x \in \{-4; -1; 2\}$ (коренът $x = -1$ е двукратен)
Задача 10.2: Намерете реалните корени на уравнението:
$$(x^2 – 5x + 4)(x^2 – 5x + 6) = 24$$
-
Отговор: $x \in \{0; 5\}$
11. Неравенство от по-висока степен (Метод на интервалите)
Задача 11.1: Намерете броя на целите числа, които са решения на неравенството:
$$(x^2 – 1)(x + 1)(x – 4) < 0$$
-
Отговор: $3$ цели числа ($0, 2, 3$)
Задача 11.2: Намерете броя на целите числа, които са решения на неравенството:
$$\frac{(x^2 – 16)(x – 4)^2}{x + 1} \le 0$$
-
Отговор: $5$ цели числа ($-4, -3, -2, 0, 4$)
12. Ирационално неравенство ($\sqrt{f(x)} > g(x)$)
Задача 12.1: Решете ирационалното неравенство:
$$\sqrt{7 – x} > x – 1$$
-
Отговор: $x \in (-\infty; 3)$
Задача 12.2: Решете ирационалното неравенство:
$$\sqrt{x^2 – 3x + 2} > x – 3$$
-
Отговор: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; \frac{7}{3})$
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!