11.7.2 Насоки и решения – тест алгебричен апарат 1

1. (УАСГ, 2021) Пресметнете стойността на израза:

• Кратка насока: Използвайте основното тъждество $\sqrt{a^2} = \vert{}a\vert{}$ и определете знака на изразите в модулите, като сравните числата с $\sqrt{5}$ ($2 = \sqrt{4} < \sqrt{5}$ и $3 = \sqrt{9} > \sqrt{5}$).
• Решение:
  $$B = \vert{}2 – \sqrt{5}\vert{} + \vert{}3 – \sqrt{5}\vert{}$$
  Тъй като $2 – \sqrt{5} < 0$, имаме $\vert{}2 – \sqrt{5}\vert{} = \sqrt{5} – 2$. Тъй като $3 – \sqrt{5} > 0$, имаме $\vert{}3 – \sqrt{5}\vert{} = 3 – \sqrt{5}$.
  $$B = (\sqrt{5} – 2) + (3 – \sqrt{5}) = 1$$
• Отговор: $1$

2. (СУ, 2022) Намерете допустимите стойности (ДС) на израза:

• Кратка насока: Подкоренният израз на квадратен корен трябва да бъде неотрицателен ($\ge 0$), а знаменателят — различен от нула. Решете дробното неравенство по метода на интервалите.
• Решение:
  $$\frac{2x – 4}{x + 3} \ge 0 \iff \frac{2(x – 2)}{x + 3} \ge 0$$
  Нули на числителя и знаменателя: $x = 2$ (включва се) и $x = -3$ (изключва се). По метода на интервалите знаците са $(+)$ в $(-\infty; -3)$, $(-)$ в $(-3; 2)$ и $(+)$ в $[2; +\infty)$.
• Отговор: $x \in (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$

3. (ТУ, 2019) Ако $x_1$ и $x_2$ са корените на уравнението $x^2 – 5x + 3 = 0$, намерете стойността на израза $x_1^2 + x_2^2$.

• Кратка насока: Проверете дали дискриминантата $D \ge 0$, изразете $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2$ и приложете формулите на Виет.
• Решение:$D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 13 > 0 \implies$ уравнението има два реални корена. По формулите на Виет: $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 x_2 = 3$.
  $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = 5^2 – 2 \cdot 3 = 25 – 6 = 19$$
• Отговор: $19$

4. (СУ, 2021) Намерете стойността на параметъра $k$, за която корените на уравнението $x^2 – kx + 8 = 0$ удовлетворяват условието $x_1 = 2x_2$.

• Кратка насока: Съставете система от формулите на Виет ($x_1 + x_2 = k$, $x_1x_2 = 8$) и даденото условие $x_1 = 2x_2$. Не забравяйте да проверите $D \ge 0$ за намерените стойности на $k$.
• Решение:
  $$\begin{cases} x_1 + x_2 = k \\ x_1 x_2 = 8 \\ x_1 = 2x_2 \end{cases}$$
  Заместваме $x_1 = 2x_2$ във второто уравнение:
  $$2x_2^2 = 8 \implies x_2^2 = 4 \implies x_2 = \pm 2$$
  1. При $x_2 = 2 \implies x_1 = 4 \implies k = 4 + 2 = 6$.
  2. При $x_2 = -2 \implies x_1 = -4 \implies k = -4 + (-2) = -6$. Проверка на дискриминантата: за $k = \pm 6$, $D = (\pm 6)^2 – 4 \cdot 8 = 36 – 32 = 4 > 0$ (корените са реални).
• Отговор: $k = \pm 6$

5. (УАСГ, 2022) Намерете най-голямата стойност (НГС) на функцията $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ в затворения интервал $x \in [0; 3]$.

• Кратка насока: Намерете абсцисата на върха на параболата $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Тъй като старшият коефициент $a = -1 < 0$, параболата е обърната надолу и достига максимума си във върха, ако $x_0$ попада в зададения интервал.
• Решение:
  $$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$$
  Тъй като $x_0 = 2 \in [0; 3]$ и $a = -1 < 0$, най-голямата стойност се достига точно при $x = 2$:
  $$\text{НГС } f(x) = f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$$
• Отговор: $5$

6. (ТУ, 2023) Намерете за кои стойности на параметъра $a$ неравенството $x^2 – 2ax + 4 > 0$ е изпълнено за всяко реално $x$.

• Кратка насока: Квадратен тричлен $Ax^2 + Bx + C > 0$ за всяко $x \in \mathbb{R}$ тогава и само тогава, когато $A > 0$ и $D < 0$.
• Решение: Старшият коефициент е $1 > 0$. Необходимо и достатъчно условие е дискриминантата да е отрицателна:
  $$D = (-2a)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 < 0$$
  $$4a^2 – 16 < 0 \iff a^2 – 4 < 0 \iff (a – 2)(a + 2) < 0$$
  $$a \in (-2; 2)$$
• Отговор: $a \in (-2; 2)$

7. (ТУ, 2020) Решете ирационалното уравнение:

• Кратка насока: Използвайте еквивалентния преход $\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$ (това автоматично гарантира и $f(x) \ge 0$).
• Решение:
  $$\begin{cases} x – 1 \ge 0 \\ 2x + 5 = (x – 1)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 1 \\ 2x + 5 = x^2 – 2x + 1 \end{cases}$$
  Решаваме квадратното уравнение:
  $$x^2 – 4x – 4 = 0$$
  $$D_1 = (-2)^2 – 1 \cdot (-4) = 8 \implies x_{1,2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$$
  Проверяваме условието $x \ge 1$:
  • $x_1 = 2 + 2\sqrt{2} > 1$ (решение)
  • $x_2 = 2 – 2\sqrt{2} \approx 2 – 2,83 = -0,83 < 1$ (не е решение)
• Отговор: $x = 2 + 2\sqrt{2}$

8. (ТУ, 2023) Намерете корените на уравнението:

• Кратка насока: Определете ДС, прехвърлете единия радикал отдясно, за да станат и двете страни неотрицателни, и повдигнете на квадрат.
• Решение:ДС: $\begin{cases} 5x + 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies x \ge -\frac{1}{5}$. Прехвърляме $\sqrt{x + 1}$ отдясно:
  $$\sqrt{5x + 1} = 2 + \sqrt{x + 1}$$
  Двете страни са $\ge 0$, повдигаме на квадрат:
  $$5x + 1 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + x + 1$$
  $$4x – 4 = 4\sqrt{x + 1} \quad (:4)$$
  $$x – 1 = \sqrt{x + 1}$$
  Налагаме $x – 1 \ge 0 \implies x \ge 1$ и повдигаме отново на квадрат:
  $$x^2 – 2x + 1 = x + 1 \implies x^2 – 3x = 0 \implies x(x – 3) = 0$$
  Корените са $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. От условието $x \ge 1$ остава само $x = 3$.
• Отговор: $x = 3$

9. (ТУ, 2021) Решете системата уравнения:

• Кратка насока: Системата е симетрична. Изразете $x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy$, за да намерите произведението $xy$, след което съставете спомагателно квадратно уравнение по обратната теорема на Виет.
• Решение: Преобразуваме второто уравнение:
  $$(x + y)^2 – 3xy = 7$$
  Заместваме $x + y = 5$:
  $$5^2 – 3xy = 7 \implies 25 – 3xy = 7 \implies 3xy = 18 \implies xy = 6$$
  Получаваме системата $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$. Числата $x$ и $y$ са корени на $t^2 – 5t + 6 = 0 \implies t_1 = 2, \; t_2 = 3$.
• Отговор: $(2; 3)$ и $(3; 2)$

10. (УАСГ, 2013) Решете уравнението:

• Кратка насока: Положете повтарящия се квадратен израз $x^2 – 3x = t$.
• Решение: Полагаме $t = x^2 – 3x$:
  $$t^2 – 2t – 8 = 0 \implies t_1 = 4, \quad t_2 = -2$$
  Връщаме се към полагането:
  1. $x^2 – 3x = 4 \implies x^2 – 3x – 4 = 0 \implies x_1 = 4, \; x_2 = -1$
  2. $x^2 – 3x = -2 \implies x^2 – 3x + 2 = 0 \implies x_3 = 2, \; x_4 = 1$
• Отговор: $x \in \{-1; 1; 2; 4\}$

11. (УАСГ, 2024) Намерете броя на целите числа, които са решения на неравенството:

• Кратка насока: Разложете $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$ и внимавайте с четната кратност на корена $x = 2$ при метода на интервалите (знакът не се сменя при преминаване през $(x – 2)^2$).
• Решение:
  $$(x – 2)(x + 2)(x – 2)(x – 5) < 0 \iff (x – 2)^2 (x + 2)(x – 5) < 0$$
  Тъй като $(x – 2)^2 > 0$ за всяко $x \ne 2$, неравенството е еквивалентно на системата:
  $$\begin{cases} (x + 2)(x – 5) < 0 \\ x \ne 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in (-2; 5) \\ x \ne 2 \end{cases}$$
  Целите числа в интервала $(-2; 5)$ без числото $2$ са: $-1, 0, 1, 3, 4$. Броят им е $5$.
• Отговор: $5$ цели числа

12. (ТУ, 2022) Решете ирационалното неравенство:

• Кратка насока: Неравенство от вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ се разпада на обединение от два случая в зависимост от знака на дясната страна $g(x)$ (когато $g(x) < 0$, неравенството е изпълнено автоматично в ДС).
• Решение:
  $$\sqrt{3 – x} > x – 1 \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x – 1 < 0 \\ 3 – x \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x – 1 \ge 0 \\ 3 – x > (x – 1)^2 \end{cases} \end{array} \right.$$
  • Първа система: $\begin{cases} x < 1 \\ x \le 3 \end{cases} \implies x \in (-\infty; 1)$.
  • Втора система:
    $$3 – x > x^2 – 2x + 1 \iff x^2 – x – 2 < 0 \iff (x – 2)(x + 1) < 0 \iff x \in (-1; 2)$$
    Засичаме с $x \ge 1 \implies x \in [1; 2)$. Обединяваме решенията на двете системи: $(-\infty; 1) \cup [1; 2) = (-\infty; 2)$.
• Отговор: $x \in (-\infty; 2)$