12.2 Квадратна функция, неравенства и системи

1. Квадратна функция и нейните свойства

• Координати на върха:
  $$x_0 = -\frac{b}{2a}, \quad y_0 = f(x_0) = \frac{4ac – b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}$$
• Посока на клоните и екстремуми (НМС / НГС):
  • При $a > 0$: Клоните са обърнати нагоре. Функция има най-малка стойност (НМС) във върха и няма най-голяма стойност (НГС):
    $$\text{НМС } f(x) = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = -\frac{D}{4a}, \quad \text{при } x \in (-\infty, +\infty)$$
    • Расте в $x \in [x_0, +\infty)$, намалява в $x \in (-\infty, x_0]$.
  • При $a < 0$: Клоните са обърнати надолу. Функция има най-голяма стойност (НГС) във върха и няма най-малка стойност (НМС):
    $$\text{НГС } f(x) = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = -\frac{D}{4a}, \quad \text{при } x \in (-\infty, +\infty)$$
    • Расте в $x \in (-\infty, x_0]$, намалява в $x \in [x_0, +\infty)$.
• Екстремуми в ограничен интервал $[m, n]$:
  1. Намира се абсцисата на върха $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
  2. Ако $x_0 \in [m, n]$, се пресмятат стойностите $f(m)$, $f(n)$ и $f(x_0)$. Най-голямото/най-малкото от тези три числа е съответно НГС/НМС.
  3. Ако $x_0 \notin [m, n]$, се пресмятат само $f(m)$ и $f(n)$.

2. Квадратни неравенства и метод на интервалите

Знаци на квадратния тричлен $f(x) = ax^2 + bx + c$:

• При $D > 0$: Тричленът има два реални корена $x_1 < x_2$.
  • Извън корените $(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$ знакът съвпада със знака на $a$.
  • Между корените $(x_1, x_2)$ знакът е противоположен на знака на $a$.
• При $D = 0$: Тричленът има двоен корен $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$.
  • За всяко $x \neq x_1$ знакът на $f(x)$ съвпада със знака на $a$.
  • За $x = x_1$ имаме $f(x_1) = 0$.
• При $D < 0$: Тричленът няма реални корени.
  • За всяко $x \in \mathbb{R}$ знакът на $f(x)$ съвпада със знака на $a$.

Метод на интервалите за дробно-рационални неравенства

1. Определя се допустимото множество (ДМ): $Q(x) \neq 0$.
2. Намират се нулите на числителя и знаменателя и се нанасят върху числовата ос.
3. Равнината се разделя на интервали и се определя знакът във всеки интервал (като се отчита кратността на корените – при четна кратност знакът запазва стойността си, а при нечетна се сменя).

3. Системи уравнения от втора степен

Основни методи за решение:

1. Метод на заместването: Изразява се едното неизвестно от уравнение от 1-ва степен и се замества във второто уравнение.
2. Алгебрично събиране: Използва се за елиминиране на свободния член или на някоя от квадратичните степени ($x^2$ или $y^2$).
3. Хомогенни уравнения: Уравнения от вида $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$. Разделят се на $y^2 \neq 0$ (след проверка за $y = 0$) и се полага $t = \frac{x}{y}$, което свежда уравнението до квадратно спрямо $t$.
4. Симетрични системи: Запазват вида си при размяна на $x$ и $y$. Ввежда се полагането:
   $$\begin{cases} u = x + y \\ v = x \cdot y \end{cases}$$
   След намирането на $u$ и $v$, $x$ и $y$ са корени на квадратното уравнение $t^2 – ut + v = 0$.

4. Уравнения от по-висока степен с полагане

1. Биквадратни уравнения: $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ($a \neq 0$).
   • Полага се $x^2 = t$ при ограничение $t \ge 0$.
2. Огледални (симетрични) уравнения от 4-та степен: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ ($a \neq 0$).
   • Тъй като $x = 0$ не е корен, се разделя на $x^2 \neq 0$:
     $$a\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + b\left(x + \frac{1}{x}\right) + c = 0$$
   • Полага се $t = x + \frac{1}{x} \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 – 2$.
3. Уравнения от вида $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = E$, където $a+b = c+d$:
   • Групират се $[(x+a)(x+b)] \cdot [(x+c)(x+d)] = E \implies (x^2 + S x + ab)(x^2 + S x + cd) = E$.
   • Полага се $t = x^2 + S x$.

5. Типични клопки

1. Строгост на интервалите при дробни неравенства:
   При неравенства от вида $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$, корените на числителя $P(x) = 0$ са включени (затворени скоби $[ ]$), но корените на знаменателя $Q(x) = 0$ винаги са изключени (отворени скоби $( )$).
2. Негативни стойности при полагане:
   При биквадратни уравнения $x^4 + bx^2 + c = 0$, след полагане $x^2 = t$, получените отрицателни корени за $t$ ($t < 0$) не дават реални решения за $x$.
3. Непроверени капани при хомогенни системи:
   Деленето на $y^2$ при хомогенни уравнения изисква задължителна предварителна проверка дали $y = 0$ е решение на системата, за да не се загубят корени.