11.2 Квадратни уравнения и Формули на Виет

Решаване на квадратни уравнения и свойства на корените.

Пресмятане на симетрични изрази от корените чрез Формули на Виет.

I

№	Вариант А (Основно ниво)	Вариант Б (Средно ниво / Тест I модул)
1	Намерете дискриминантата и броя реални корени на уравнението $x^2 - 6x + 5 = 0$ .	Определете за кои стойности на параметъра $m$ уравнението $x^2 - 4x + m = 0$ има два различни реални корена.
2	Намерете корените на квадратното уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$ .	Намерете корените на уравнението $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ .
3	По формулите на Виет намерете сбора $x_1 + x_2$ и произведението $x_1 x_2$ за $x^2 - 7x + 12 = 0$ .	За уравнението $3x^2 - 8x + 2 = 0$ намерете сбора $x_1 + x_2$ и произведението $x_1 x_2$ .
4	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $x^2 - 5x + 4 = 0$ , намерете стойността на $x_1^2 + x_2^2$ .	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $2x^2 - 6x + 1 = 0$ пресметнете $x_1^2 + x_2^2$ .
5	За корените на $x^2 - 4x + 3 = 0$ намерете стойността на $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ .	За корените на $3x^2 - 5x - 2 = 0$ пресметнете стойността на израза $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ .
6	Намерете стойността на $x_1^3 + x_2^3$ за корените на уравнението $x^2 - 3x + 1 = 0$ .	Намерете стойността на $x_1^3 + x_2^3$ за корените на уравнението $2x^2 - 4x - 1 = 0$ .
7	Пресметнете $\vert{}x_1 - x_2\vert{}$ за корените на уравнението $x^2 - 5x + 6 = 0$ .	Намерете разликата на корените $\vert{}x_1 - x_2\vert{}$ за уравнението $4x^2 - 12x + 5 = 0$ .
8	Съставете квадратно уравнение с корени $y_1 = 2$ и $y_2 = -5$ .	Съставете квадратно уравнение, чиито корени са с $2$ по-големи от корените на $x^2 - 4x + 1 = 0$ .
9	Съставете квадратно уравнение с корени $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{1}{3}$ .	Съставете квадратно уравнение с корени $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$ , където $x_1, x_2$ са корени на $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .
10	За коя стойност на $m$ един от корените на $x^2 - m x + 8 = 0$ е равен на $2$ ?	За коя стойност на параметъра $m$ един от корените на $x^2 - (m+2)x + 2m = 0$ е три пъти по-голям от другия?
11	Намерете $m$ , така че произведението от корените на $x^2 - 3x + (2m - 1) = 0$ да е $5$ .	Определете $m$ , така че сумата от квадратите на корените на $x^2 - m x + (m - 1) = 0$ да е равна на $10$ .
12	Определете знаците на корените на уравнението $x^2 - 8x + 15 = 0$ .	Без да решавате уравнението $2x^2 + 7x - 4 = 0$ , определете знаците на неговите корени.
13	За кои стойности на $m$ уравнението $x^2 + 2x + m = 0$ има поне един реален корен?	За кои стойности на параметъра $a$ уравнението $(a-1)x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ има два положителни корена?
14	Опростете израза $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$ за корените на $x^2 - 6x + 2 = 0$ .	Намерете стойността на израза $\frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1}$ за корените на уравнението $x^2 - 4x + 2 = 0$ .
15	Пресметнете $(x_1 - 2)(x_2 - 2)$ за корените на $x^2 - 5x + 3 = 0$ .	Пресметнете стойността на $(2x_1 + 1)(2x_2 + 1)$ за корените на уравнението $3x^2 - 5x + 1 = 0$ .

II

№	Вариант Б (Средно ниво / Тест I модул)	Вариант В (Разширено ниво / Тест II модул)
1	(ТУ, 2010) Намерете корените на квадратното уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$	Намерете корените на ирационалното уравнение, свеждащо се до квадратно: $\sqrt{2x^2 - 5x + 3} = x - 1$
2	(ТУ, 2013) Дадено е квадратното уравнение $x^2 - 6x + 4 = 0$ с корени $x_1$ и $x_2$ . Намерете стойността на израза: $A = x_1 + x_2 - 3x_1 x_2$	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $2x^2 - 5x - 3 = 0$ пресметнете стойността на израза: $B = 2(x_1 + x_2) + 4x_1 x_2 - \frac{1}{x_1 x_2}$
3	(ТУ, 2017) За корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение $x^2 - 5x + 2 = 0$ пресметнете стойността на симетричния израз: $A = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $3x^2 - 7x - 2 = 0$ пресметнете стойността на израза: $B = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$
4	(ТУ, 2020) Без да решавате уравнението $2x^2 - 8x + 3 = 0$ , намерете стойността на израза: $A = x_1^2 + x_2^2$	Без да решавате уравнението $3x^2 - 6x - 2 = 0$ , намерете стойността на израза: $B = x_1^4 + x_2^4$
5	Намерете стойността на израза $A = x_1^3 + x_2^3$ за корените на квадратното уравнение $x^2 - 3x + 1 = 0$ .	(УАСГ, 2012) Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$ , намерете стойността на израза: $A = x_1^3 + x_2^3$
6	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 4x + 2 = 0$ намерете стойността на израза: $A = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$	(УАСГ, 2016) За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 3x - 6 = 0$ пресметнете стойността на израза: $A = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$
7	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 5x + 3 = 0$ пресметнете стойността на: $A = \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1}$	Намерете стойността на израза $B = \frac{x_1^3}{x_2} + \frac{x_2^3}{x_1}$ за корените на уравнението $x^2 - 2x - 4 = 0$ .
8	Намерете разликата на корените $\vert{}x_1 - x_2\vert{}$ за квадратното уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$ .	Намерете стойността на параметъра $a$ , за която разликата от корените на уравнението $x^2 - a x + 8 = 0$ е равна на $2$ .
9	Съставете квадратно уравнение с корени $y_1$ и $y_2$ , които са реципрочни на корените на $2x^2 - 5x + 1 = 0$ .	Съставете квадратно уравнение, чиито корени са $y_1 = x_1^2$ и $y_2 = x_2^2$ , където $x_1$ и $x_2$ са корени на $x^2 - 3x - 1 = 0$ .
10	Определете стойностите на параметъра $m$ , за които уравнението $x^2 - 2m x + m + 2 = 0$ има равни корени ( $D = 0$ ).	Определете за кои стойности на параметъра $k$ корените на уравнението $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2 = 0$ са реални и единият е с $3$ по-голям от другия.
11	За кои стойности на параметъра $m$ сумата от квадратите на корените на уравнението $x^2 - m x + (m - 2) = 0$ е равна на $5$ ?	(УАСГ, 2019) Намерете за кои стойности на реалния параметър $m$ корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение $x^2 - (m - 2)x - m - 3 = 0$ удовлетворяват условието: $x_1^2 + x_2^2 = 10$
12	За кои стойности на параметъра $a$ уравнението $x^2 - 4x + a = 0$ има два различни положителни корена?	За кои стойности на параметъра $m$ уравнението $(m-1)x^2 - 2(m+1)x + m - 2 = 0$ има два реални корена с противоположни знаци?
13	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 6x + 2 = 0$ пресметнете стойността на: $A = (x_1 - 3)(x_2 - 3)$	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $2x^2 - 5x + 1 = 0$ пресметнете стойността на израза: $B = (2x_1 - 3)(2x_2 - 3)$
14	Намерете стойността на израза $A = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ за корените на квадратното уравнение $x^2 - 10x + 9 = 0$ .	Пресметнете $B = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ за корените на уравнението $x^2 - 8x + 4 = 0$ , без да намирате самите корени.
15	Намерете стойността на параметъра $p$ , ако за корените на $x^2 + p x + 12 = 0$ е изпълнено съотношението $x_1 - 2x_2 = 1$ .	За кои стойности на параметъра $m$ корените на уравнението $x^2 - 8x + m = 0$ удовлетворяват зависимостта $3x_1 + 2x_2 = 18$ ?

III

№	Вариант В (Разширено ниво )	Вариант Г (Олимпиади и състезания)
1	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $3x^2 - 6x - 2 = 0$ пресметнете стойността на израза: $A = x_1^4 + x_2^4$	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - x - 3 = 0$ пресметнете стойността на израза: $B = x_1^5 + x_2^5$
2	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 3x - 6 = 0$ пресметнете стойността на израза: $A = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 4x + 2 = 0$ намете стойността на несиметричния израз: $B = x_1^3 + 5x_2^2$
3	Пресметнете стойността на $A = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ за корените на уравнението $x^2 - 8x + 4 = 0$ , без да ги намирате пряко.	Намерете стойността на израза $B = \sqrt[3]{x_1} + \sqrt[3]{x_2}$ за корените на квадратното уравнение $x^2 - 6x + 1 = 0$ .
4	(УАСГ, 2019) Намерете за кои стойности на параметъра $m$ корените на $x^2 - (m - 2)x - m - 3 = 0$ удовлетворяват: $x_1^2 + x_2^2 = 10$	За кои стойности на параметъра $a$ уравнението $x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - 3a + 2 = 0$ има два реални корена $x_1$ и $x_2$ , за които $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} < 1$ ?
5	Намерете стойностите на параметъра $m$ , за които корените на $x^2 - 8x + m = 0$ удовлетворяват зависимостта: $3x_1 + 2x_2 = 18$	Намерете всички стойности на параметъра $a$ , за които корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - (2a + 1)x + a^2 + 2 = 0$ удовлетворяват равенството: $x_1^2 - 2x_2^2 = 3$

1. Решаване на квадратни уравнения и свойства на корените

Квадратното уравнение от вида

ax^2 + bx + c = 0

(

a \neq 0

) има дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Броят и видът на корените се определят от знака на

D

$D > 0$ : Две различни реални корени:

$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$ : Един двоен реален корен:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
$D < 0$ : Няма реални корени (в $\mathbb{R}$ ).

Съкратена дискриминанта (когато $b = 2k$ е четно):

$D_1 = k^2 - ac \implies x_{1, 2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$

2. Формули на Виет

Ако

x_1

x_2

са корени на квадратното уравнение

ax^2 + bx + c = 0

(

a \neq 0, D \ge 0

), в сила са Формулите на Виет:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}

За приведено квадратно уравнение

x^2 + px + q = 0

\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}

3. Пресмятане на симетрични изрази

Симетричен израз от корените

x_1

x_2

е израз, чиято стойност не се променя при размяна на местата на

x_1

x_2

. Всеки симетричен полином може да се изрази чрез основните симетрични сбор

S = x_1 + x_2

и произведение

P = x_1 \cdot x_2

Най-важни канонични разлагания:

Сума от квадрати:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S^2 - 2P$
Сума от кубове:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = S(S^2 - 3P)$
Сума от четвърти степени:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2 x_2^2 = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2$
Сума от реципрочни стойности:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{S}{P}$
Сума от реципрочни квадрати:

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{S^2 - 2P}{P^2}$
Разлика на корените (модул):

$\vert{}x_1 - x_2\vert{} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{S^2 - 4P} = \frac{\sqrt{D}}{\vert{}a\vert{}}$

4. Специфични изпитни акценти:

Задължителна проверка на $D \ge 0$ : При търсене на стойности на параметър $m$ , за които се изпълнява дадено условие за $x_1$ и $x_2$ , първо задължително се определя ДС за параметъра от неравенството $D(m) \ge 0$ .
Деление на нула: Изрази с реципрочни стойности ( $\frac{1}{x_1}$ ) изискват $x_1 x_2 \neq 0 \implies c \neq 0$ .
Составяне на квадратно уравнение по дадени корени: Ако са дадени $y_1$ и $y_2$ , новото уравнение е:

$y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 y_2) = 0$