7.50.Т Представяне на решенията на линейно неравенство

1. Трите форми за записване на решенията

1. Алгебричен запис (неравенство): $x > a$, $x \ge a$, $x < a$ или $x \le a$.
2. Геометричен запис (графично върху числовата ос): Чрез щриховане на съответния лъч.
3. Запис чрез числов интервал: Чрез скоби и символите за безкрайност ($-\infty$ и $+\infty$).

2. Основни елементи и правила

А. Графично изображение (Числова ос)

• Посока на щриховката:
  • За знаците $>$ и $\ge$ (по-голямо): щрихова се надясно от числото $a$.
  • За знаците $<$ и $\le$ (по-малко): щрихова се наляво от числото $a$.
• Тип на граничната точка:
  • Строго неравенство ($>$ или $</$): Граничната точка $a$ не е решение. Изобразява се с празна (незапълнена) точка $\circ$.
  • Нестрого неравенство ($\ge$ или $\le$): Граничната точка $a$ е решение. Изобразява се с плътна (запълнена) точка $\bullet$.

Б. Числови интервали

• Видове скоби:
  • Кръгла скоба ( или ): Показва, че числото не се включва в решенията (съответства на празна точка $\circ$).
  • Квадратна скоба [ или ]: Показва, че числото се включва в решенията (съответства на плътна точка $\bullet$).
• Символи за безкрайност ($-\infty$ и $+\infty$):
  • Показват, че интервалът продължава неограничено съответно наляво или надясно.
  • При $-\infty$ и $+\infty$ винаги се поставя кръгла скоба ( или ).

3. Обобщителна таблица на видовете интервали

4. Специални случаи

1. Всяко число е решение ($0 \cdot x > -5$):
   • Графично: Цялата числова ос е щрихована.
   • Интервал: $x \in (-\infty; +\infty)$ (отчита се цялата права).
2. Няма решение ($0 \cdot x > 5$):
   • Графично: Върху числовата ос няма щриховка и няма отбелязани точки.
   • Запис: $x \in \emptyset$ (празно множество).

5. Типични методически грешки на учениците

• Квадратна скоба при безкрайност: Опит да се запише $[a; +\infty]$ — припомня се, че безкрайността не е конкретно число и не може да бъде „затворена“.
• Обръщане на наредената двойка при отрицателни числа: Например за $x < -4$ учениците често грешат, записвайки $(-4; -\infty)$ вместо $(-\infty; -4)$. Правилото е, че в интервала по-малкото число (по-лявото върху оста) винаги се пиша първо.
• Несъответствие между скоба и точка: Използване на квадратна скоба с празна точка на чертежа.