7.44 Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник

№	Вариант А	Вариант Б
1	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) отсечката $CD$ е медиана към хипотенузата $AB = 18\text{ cm}$ . Намерете дължините на отсечките $CD$ , $AD$ и $BD$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) отсечката $CD$ е медиана към $AB$ . Ако $CD = 7{,}5\text{ cm}$ , намерете хипотенузата $AB$ и радиуса $R$ на описаната около триъгълника окръжност.
2	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) отсечката $CD$ е медиана към $AB$ . Ако $\angle A = 35^\circ$ , намерете ъглите $\angle ACD$ и $\angle BCD$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) отсечката $CD$ е медиана към $AB$ . Ако ъгълът при върха $D$ в $\Delta ADC$ е $\angle ADC = 110^\circ$ , намерете острите ъгли $\angle A$ и $\angle B$ на $\Delta ABC$ .
3	В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана към страната $AB$ . Ако $AD = BD = CD = 6\text{ cm}$ , докажете, че $\Delta ABC$ е правоъгълен, и намерете $\angle ACB$ .	В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана към $AB$ . Ако $CD = 8\text{ cm}$ , $AC = 6\text{ cm}$ и периметърът $P_{\Delta ADC} = 22\text{ cm}$ , докажете, че $\angle ACB = 90^\circ$ , и намерете $AB$ .
4	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $\angle A = 30^\circ$ и $CD$ е медиана към $AB$ . Докажете, че $\Delta BCD$ е равностранен.	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $\angle A = 30^\circ$ и $CD$ е медиана към $AB$ . Ако периметърът $P_{\Delta BCD} = 24\text{ cm}$ , намерете хипотенузата $AB$ , медианата $CD$ и катета $BC$ .
5	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $\angle A = 20^\circ$ . Отсечките $CH$ и $CD$ са съответно височина и медиана към хипотенузата $AB$ . Намерете $\angle HCD$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CH$ и $CD$ са височина и медиана към $AB$ . Ако $\angle HCD = 24^\circ$ и $\angle A > \angle B$ , намерете острите ъгли на $\Delta ABC$ .
6	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $\angle A = 30^\circ$ . Отсечките $CL$ и $CD$ са съответно ъглополовяща на $\angle C$ и медиана към $AB$ . Намерете $\angle DCL$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CL$ е ъглополовяща на $\angle C$ , а $CD$ е медиана към $AB$ . Ако $\angle DCL = 15^\circ$ и $\angle A < \angle B$ , намерете острите ъгли на $\Delta ABC$ .
7	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Точка $M$ е среда на катета $AC$ . Докажете, че $DM \perp AC$ и че $DM = \frac{1}{2} BC$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Точки $M$ и $N$ са среди съответно на $AC$ и $BC$ . Докажете, че $MN = CD$ и че $P_{\Delta CMN} = \frac{1}{2} P_{\Delta ABC}$ .
8	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Симетралата $s_{AC}$ пресича хипотенузата $AB$ в точка $D$ . Докажете, че $CD = \frac{1}{2} AB$ и намерете $\angle A$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Ъглополовящата на $\angle BCD$ пресича $AB$ в точка $K$ . Ако $CK \perp AB$ , намерете острите ъгли на $\Delta ABC$ .
9	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Върху продължението на $CD$ зад $D$ е нанесена точка $E$ така, че $CD = DE$ . Докажете, че $\Delta ADC \cong \Delta BDE$ и че $AE = BC$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Точка $K \in AC$ е такава, че $DK \perp AB$ . Докажете, че $\Delta ADK \cong \Delta CDK$ и че $DK = \frac{1}{2} BC$ .
10	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Точка $P \in CD$ е такава, че $AP = BC$ . Ако $\angle A = 30^\circ$ , докажете, че $\Delta BPC$ е равнобедрен, и намерете $\angle BPC$ .	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е медиана към $AB$ . Права през $C$ , перпендикулярна на $CD$ , пресича правата $AB$ в точка $M$ . Ако $\angle A = 25^\circ$ , намерете ъглите на $\Delta CDM$ .

НВО Първа част

2023 г. (№ 15): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) отсечката $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$ . Ако $AB = 16\text{ cm}$ , намерете дължината на $CM$ .
2022 г. (№ 14): В $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) отсечката $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$ . Ако $CM = 7,5\text{ cm}$ , намерете дължината на $AB$ .
2021 г. (№ 16): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ , $\angle A = 35^\circ$ ) $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$ . Намерете мярката на $\angle BCM$ .
2020 г. (№ 15): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CM$ е медиана към $AB$ . Ако $\angle AMC = 100^\circ$ , намерете острите ъгли на $\triangle ABC$ .
2019 г. (№ 15): В $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) медианата към хипотенузата е $CM = 8\text{ cm}$ и сключва с катета $AC$ ъгъл $50^\circ$ . Намерете ъглите на $\triangle MBC$ .
2018 г. (№ 16): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ , $\angle A = 30^\circ$ ) $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$ . Ако периметърът на $\triangle AMC$ е $24\text{ cm}$ , намерете дължината на хипотенузата $AB$ .
2017 г. (№ 15): В $\triangle ABC$ отсечката $CM$ е медиана към страната $AB$ . Ако $CM = AM = 9\text{ cm}$ и $\angle A = 40^\circ$ , намерете мярката на $\angle B$ .
2016 г. (№ 16): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CD$ е височина, а $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$ . Ако $\angle A = 70^\circ$ , намерете мярката на $\angle DCM$ .
2015 г. (№ 15): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CM$ е медиана към $AB$ . Периметърът на $\triangle MBC$ е $18\text{ cm}$ , а катетът $BC = 6\text{ cm}$ . Намерете хипотенузата $AB$ .
2014 г. (№ 16): За $\triangle ABC$ е известно, че медианата $CM = 10\text{ cm}$ и $AB = 20\text{ cm}$ . Ако $\angle B = 55^\circ$ , намерете мярката на $\angle A$ .

НВО Втора част

2024 г. (№ 22): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) отсечката $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$ , а $CH$ е височина към $AB$ ( $H \in AB$ ).

а) Докажете, че $\angle MCH = \vert{}\angle A - \angle B\vert{}$ .

б) Ако $\angle A = 65^\circ$ и $CM = 10\text{ cm}$ , намерете ъглите на $\triangle MCH$ и периметъра на $\triangle AMC$ .
2022 г. (№ 22): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ , $\angle A = 30^\circ$ ) $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$ , а $CL$ е ъглополовяща на $\angle ACB$ ( $L \in AB$ ).

а) Намерете ъглите на $\triangle MCL$ .

б) Ако $CL = 8\text{ cm}$ , намерете разстоянието от точка $L$ до катета $AC$ .
2020 г. (№ 22): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) медианата $CM$ и височината $CH$ към хипотенузата $AB$ сключват ъгъл $\angle MCH = 20^\circ$ .

а) Намерете острите ъгли на $\triangle ABC$ .

б) Ако $AB = 16\text{ cm}$ , намерете разстоянието от точка $M$ до правата $AC$ .
2017 г. (№ 22): За триъгълник $ABC$ е известно, че медианата $CM$ към страната $AB$ има дължина $CM = \frac{1}{2}AB$ . Точка $P$ лежи върху катета $AC$ така, че $MP \perp AB$ .

а) Докажете, че $\angle ACB = 90^\circ$ .

б) Докажете, че $AP = PC$ .

в) Ако $\angle B = 30^\circ$ и $BC = 12\text{ cm}$ , намерете дължината на $MP$ .
2013 г. (№ 22): В правоъгълен $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) с $\angle A = 30^\circ$ отсечките $CD$ и $CM$ са съответно височина и медиана към хипотенузата $AB$ .

а) Докажете, че $\triangle MBC$ е равностранен.

б) Докажете, че $AD = 3 \cdot BD$ .

в) Ако $CD = 6\text{ cm}$ , намерете дължината на медианата $CM$ .

© София-Мат ЕООД

© София-Мат ЕООД

$Kурсове и подготовка по математика, БЕЛ и английски: добрият начин да учим$