Продължете към съдържанието

7.43 Перпендикуляр от точка до права. Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30

    № Вариант А Вариант Б (+10–15% трудност)
    1 Дадена е права $g$ и точка $P \notin g$. Перпендикулярът $PH \perp g$ ($H \in g$) има дължина $7\text{ cm}$. Колко е разстоянието от точка $P$ до правата $g$? Ако $A \in g$ и $HA = 5\text{ cm}$, намерете вида на $\Delta PHA$. Дадена е права $g$ и точка $P \notin g$ на разстояние $9\text{ cm}$ от $g$. Точките $A, B \in g$ са такива, че $PA = PB = 15\text{ cm}$. Намерете разстоянието от петата на перпендикуляра $H$ до средите на отсечките $PA$ и $PB$.
    2 От точка $M$ към права $a$ са пуснати перпендикуляр $MH$ ($H \in a$) и наклонена $MA$. Ако $MH = 2x + 1\text{ cm}$ и $MA = 3x – 4\text{ cm}$, намерете възможно най-малкото цяло число за $x$. От точка $M$ към права $a$ са пуснати перпендикуляр $MH$ и две наклонени $MA$ и $MB$. Ако $H$ е между $A$ и $B$ и $HA < HB$, докажете, че $MA < MB$.
    3 В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) разстоянието от върха $C$ до правата $AB$ е $CD = 12\text{ cm}$. Ако $AB = 10\text{ cm}$, намерете лицето $S_{\Delta ABC}$ и дължината на медианата към $AB$. В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) разстоянието от върха $C$ до $AB$ е $CH = 12\text{ cm}$. Точка $M$ е среда на $CH$. Намерете разстоянието от $M$ до правата $AB$ и от $M$ до правата $AC$, ако $\angle ACH = 30^\circ$.
    4 Точка $P$ лежи на ъглополовящата на $\angle AOB$. Разстоянието от $P$ до рамото $OA$ е $5\text{ cm}$. Намерете разстоянието от $P$ до рамото $OB$. Точка $P$ е във вътрешността на $\angle AOB = 60^\circ$ и е на равни разстояния от раменете му, равни на $4\text{ cm}$. Докажете, че $OP$ е ъглополовяща, и намерете дължината на отсечката $OP$.
    5 Права $s$ е симетрала на отсечката $AB$ ($s \cap AB = M$). Точка $P \in s$ е на разстояние $8\text{ cm}$ от правата $AB$. Намерете $PM$ и сравнете по големина $PA$ и $PM$. Права $s$ е симетрала на $AB$. Точка $P \in s$ е на разстояние $6\text{ cm}$ от $AB$. Ако $AB = 16\text{ cm}$, намерете разстоянието от петата $M$ на перпендикуляра $PM$ до правата $PA$, ако $\angle PAM = 30^\circ$.
    6 В остроъгълен $\Delta ABC$ разстоянията от върха $C$ до правата $AB$ и от върха $A$ до правата $BC$ са съответно $CD = 6\text{ cm}$ и $AE = 8\text{ cm}$. Ако $AB = 10\text{ cm}$, намерете $BC$. В тъпоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle B > 90^\circ$) разстоянието от върха $C$ до правата $AB$ е $CH = 5\text{ cm}$ ($H \in AB^\rightarrow$). Ако $AB = 6\text{ cm}$ и $BC = 10\text{ cm}$, намерете разстоянието от върха $A$ до правата $BC$.
    7 Правите $a$ и $b$ са успоредни ($a \parallel b$), а разстоянието между тях е $6\text{ cm}$. Точка $A \in a$ и точка $B \in b$. Каква е най-малката възможна дължина на отсечката $AB$? Правите $a \parallel b$ са на разстояние $8\text{ cm}$. Точка $M$ лежи между $a$ и $b$ и е на разстояние $3\text{ cm}$ от $a$. Намерете разстоянието от $M$ до $b$ и разстоянието между нейните симетрични точки спрямо $a$ и $b$.
    8 В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ и хипотенуза $AB = 14\text{ cm}$, намерете разстоянието от върха $B$ до катета $AC$ и разстоянието от $C$ до $AB$. В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$) височината към хипотенузата е $CD = 5\text{ cm}$. Намерете разстоянието от точка $D$ до катета $AC$.
    9 В $\Delta ABC$ точки $D \in AB$ и $E \in AC$ са такива, че $DE \perp AC$. Ако $DE = 4\text{ cm}$, определете разстоянието от точка $D$ до правата $AC$. В равностранен $\Delta ABC$ със страна $12\text{ cm}$ точка $M$ е среда на $AB$. От $M$ са спуснати перпендикуляри $MP \perp AC$ и $MQ \perp BC$. Докажете, че $MP = MQ$, и намерете тяхната дължина.
    10 Даден е $\Delta ABC$. Точка $M$ е от вътрешността му. Спуснати са перпендикулярите $MP \perp AB$ и $MQ \perp AC$. Ако $MP = MQ$, докажете, че $M$ лежи на ъглополовящата на $\angle BAC$. В $\Delta ABC$ симетралите на $AB$ и $AC$ се пресичат в точка $O$. Спуснати са перпендикулярите $OK \perp AB$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AC$. Докажете, че $OK = OM$ и че $O$ е на равни разстояния от трите върха на триъгълника.
    № Вариант А Вариант Б
    1 В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ хипотенузата $AB = 16\text{ cm}$. Намерете катета $BC$ и $\angle B$. В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) катетът $BC = 7{,}5\text{ cm}$ и $\angle B = 60^\circ$. Намерете хипотенузата $AB$, ъгъл $\angle A$ и медианата $CD$ към $AB$.
    2 В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) катетът $BC = 6\text{ cm}$, а хипотенузата $AB = 12\text{ cm}$. Намерете ъглите $\angle A$ и $\angle B$. В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) катетът $AC = 8\text{ cm}$ и $AB = 2 \cdot BC$. Ако периметърът е $P = 24\text{ cm}$, намерете $\angle A$ и страните $BC$ и $AB$.
    3 В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $\angle A = 30^\circ$. Ако сборът $AB + BC = 18\text{ cm}$, намерете хипотенузата $AB$ и катета $BC$. В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $\angle A = 30^\circ$. Ако разликата $AB – BC = 9\text{ cm}$, намерете катета $BC$ и медианата $CD$ към хипотенузата.
    4 В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ е прекарана височината $CH \perp AB$. Ако $AB = 20\text{ cm}$, намерете височината $CH$. В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) височината $CH \perp AB$ ($H \in AB$) има дължина $CH = 6\text{ cm}$. Ако $\angle A = 30^\circ$, намерете отсечките $BH$ и $AB$.
    5 В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ отсечката $AL$ е ъглополовяща на $\angle A$ ($L \in BC$). Ако $CL = 4\text{ cm}$, намерете дължината на $AL$. В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ ъглополовящата $BL$ ($\angle B$, $L \in AC$) има дължина $10\text{ cm}$. Намерете катета $BC$ и разстоянието от $L$ до $AB$.
    6 В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ отсечката $CD$ е медиана към хипотенузата $AB$. Намерете ъглите на $\Delta BCD$ и докажете, че той е равностранен. В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$) отсечката $CD$ е медиана към $AB$. Ако периметърът на $\Delta BCD$ е $21\text{ cm}$, намерете хипотенузата $AB$ и катета $BC$.
    7 В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при върха е $\angle C = 120^\circ$, а височината към основата е $CD = 8\text{ cm}$. Намерете бедрата $AC$ и $BC$. В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) бедрото е $AC = 14\text{ cm}$, а $\angle C = 120^\circ$. Симетралата на бедрото $AC$ пресича основата $AB$ в точка $M$. Намерете отсечката $MC$.
    8 В равностранен $\Delta ABC$ със страна $12\text{ cm}$ е изчертана височината $CD$ ($D \in AB$). Намерете $\angle ACD$, отсечката $AD$ и $CD$, ако $P_{\Delta ADC} = 18 + 6\sqrt{3}\text{ cm}$. В равностранен $\Delta ABC$ точка $M$ е среда на $BC$, а $MP \perp AB$ ($P \in AB$). Ако $AP = 9\text{ cm}$, намерете страната $AB$ на триъгълника.
    9 В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$) са прекарани височината $CH$ и медианата $CD$ към $AB$. Докажете, че $CH = \frac{CD}{2}$ и намерете $\angle DCH$. В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$) са прекарани височината $CH$ и ъглополовящата $CL$. Ако $HL = 3\text{ cm}$, намерете отсечката $BL$ и катета $BC$.
    10 В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$) точка $M$ е среда на $AC$, а $MN \perp AB$ ($N \in AB$). Ако $AN = 9\text{ cm}$, намерете катета $BC$. В $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$) ъглополовящата $AL$ и височината $CH$ се пресичат в точка $O$. Докажете, че $\Delta COI$ е равнобедрен и че $CO = 2 \cdot OH$.
    От НВО Първа част
    1. 2021 г. (№ 15): В правоъгълен $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $\angle A = 30^\circ$ и хипотенузата $AB = 14\text{ cm}$. Намерете дължината на катета $BC$.
    2. 2019 г. (№ 14): В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) катетът $BC = 6\text{ cm}$ и $\angle A = 30^\circ$. Намерете дължината на хипотенузата $AB$.
    3. 2017 г. (№ 14): В правоъгълен $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) катетът $BC = 8,5\text{ cm}$, а хипотенузата $AB = 17\text{ cm}$. Намерете мярката на $\angle A$.
    4. 2016 г. (№ 15): От точка $P$, външна за права $l$, са спуснати перпендикуляр $PH$ ($H \in l$) и наклонена $PA$. Ако $\angle PAH = 30^\circ$ и $PA = 18\text{ cm}$, намерете разстоянието от точка $P$ до правата $l$.
    5. 2022 г. (№ 15): В правоъгълен $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $\angle B = 60^\circ$ и сумата $BC + AB = 21\text{ cm}$. Намерете дължината на катета $BC$.
    6. 2020 г. (№ 16): В равнобедрен $\triangle ABC$ ($AC = BC$) с ъгъл при върха $\angle C = 120^\circ$ височината към бедрото $AC$ има дължина $7\text{ cm}$. Намерете дължината на основата $AB$.
    7. 2023 г. (№ 16): Ъглополовящата на $\angle A = 60^\circ$ в $\triangle ABC$ пресича страната $BC$ в точка $L$. Ако разстоянието от точка $L$ до правата $AB$ е $5\text{ cm}$, намерете дължината на отсечката $AL$.
    8. 2015 г. (№ 16): В правоъгълен $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) е прекарана височината $CD \perp AB$. Ако $AB = 24\text{ cm}$, намерете дължината на отсечката $BD$.
    9. 2024 г. (№ 15): В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) медианата към хипотенузата е $CM = 9\text{ cm}$. Намерете дължината на катета $BC$.
    10. 2014 г. (№ 15): Разстоянието от точка $M$ до права $a$ е $MP = 11\text{ cm}$ ($P \in a$). Точка $A$ лежи на правата $a$ така, че $\angle MAP = 30^\circ$. Намерете дължината на наклонената $MA$.
    От НВО Втора част
    1. 2018 г. (№ 22): В $\triangle ABC$ височината $CD$ ($D \in AB$) разделя ъгъла при върха $C$ на два ъгъла, като $\angle ACD = 60^\circ$ и $\angle BCD = 45^\circ$. Ако $AC = 16\text{ cm}$, намерете дължината на височината $CD$ и на страната $BC$.
    2. 2015 г. (№ 22): В правоъгълен $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ е прекарана ъглополовящата $AL$ ($L \in BC$).
      а) Докажете, че $\triangle ABL$ е равнобедрен.
      б) Ако $CL = 5\text{ cm}$, намерете дължината на катета $BC$ и хипотенузата $AB$.
    3. 2021 г. (№ 22): В правоъгълен $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) през средата $M$ на хипотенузата $AB$ е издигнат перпендикуляр $s$, който пресича катета $AC$ в точка $K$.
      а) Докажете, че $\triangle ABK$ е равнобедрен.
      б) Ако $CK = 6\text{ cm}$, намерете дължината на катета $AC$.
    4. 2019 г. (№ 22): В равнобедрен трапец $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB > CD$) остър ъгъл при основата е $\angle A = 60^\circ$, а диагоналът $AC$ е перпендикулярен на бедрото $BC$ ($AC \perp BC$). Малката основа е $CD = 8\text{ cm}$. Намерете дължината на голямата основа $AB$ и бедрата $AD$ и $BC$.
    5. 2023 г. (№ 22): В правоъгълен $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) височината $CD \perp AB$ ($D \in AB$) и ъглополовящата $AL$ ($L \in BC$) се пресичат в точка $O$.
      а) Намерете ъглите на $\triangle AOC$.
      б) Докажете, че $CL = CO$.
      в) Ако $OD = 4\text{ cm}$, намерете дължината на отсечката $AO$.

    © София-Мат ЕООД











    Kурсове и подготовка по математика, БЕЛ и английски: добрият начин да учим

    Facebook
    X (Twitter)
    Copy link
    URL has been copied successfully!