7.35.Т Елементи на триъгълник

Основни елементи на триъгълника

Върхове: Точките $A, B, C$ .
Страни: Отсечките $AB = c$ , $BC = a$ , $AC = b$ .
Вътрешни ъгли: Ъглите $\angle CAB = \alpha$ , $\angle ABC = \beta$ , $\angle BCA = \gamma$ .
Външни ъгли: Ъглите, съседни на вътрешните (напр. $\alpha' = 180^\circ - \alpha$ ).

Забележителни отсечки

Елемент	Обозначение	Определение
Височина	$h_a, h_b, h_c$	Перпендикулярът, спуснат от връх към противоположната страна (или нейното продължение).
Медиана	$m_a, m_b, m_c$	Отсечката, съединяваща връх със средата на срещулежащата страна.
Ъглополовяща	$l_a, l_b, l_c$	Отсечката от връх до срещулежащата страна, деляща вътрешния ъгъл на две равни части.

Сбор на вътрешните ъгли

Сборът от градусните мерки на вътрешните ъгли във всеки триъгълник е равен на

180^\circ

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Доказателство (идея): През върха $C$ се прекарва права $p \parallel AB$ . Образуваните кръстни ъгли спрямо секущите $AC$ и $BC$ са съответно равни на $\alpha$ и $\beta$ . Заедно с ъгъл $\gamma$ те образуват изправен ъгъл ( $180^\circ$ ).

Свойства на външните ъгли

Теорема за външния ъгъл: Всеки външен ъгъл е равен на сбора на двата вътрешни ъгъла, несъседни на него:

$\alpha' = \beta + \gamma, \quad \beta' = \alpha + \gamma, \quad \gamma' = \alpha + \beta$
Сбор на външните ъгли: Сборът от по един външен ъгъл при всеки връх на триъгълника е равен на $360^\circ$ ( $\alpha' + \beta' + \gamma' = 360^\circ$ ).

Основни следствия

В правоъгълен триъгълник сборът на двата остри ъгъла е $90^\circ$ .
Всеки триъгълник има най-много един прав или един тъп ъгъл (поне два от ъглите са винаги остри).
В равностранен триъгълник всички вътрешни ъгли са равни на $60^\circ$ .
В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни ( $\alpha = \beta$ ).