| № | Вариант А | Вариант Б |
| 1 | В ΔABC ъглите са ∠A = 40° и ∠B = 75°. Намерете градусната мярка на ∠C. | В ΔABC ъглите ∠A и ∠B се отнасят както 2 : 3, а ∠C = 60°. Намерете ∠A и ∠B. |
| 2 | Намерете периметъра P на ΔABC със страни a = 8 cm, b = 11 cm и c = 15 cm. | Периметърът на ΔABC е 42 cm. Страната a = 14 cm, а страна b е с 4 cm по-дълга от страна c. Намерете b и c. |
| 3 | В ΔABC страната a = 12 cm, а височината към нея ha = 7 cm. Намерете лицето S на триъгълника. | Лицето на ΔABC е 48 cm², а височината ha = 8 cm. Намерете дължината на страната a. |
| 4 | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) ъгълът при върха C е 50°. Намерете ъглите при основата AB. | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) ъгълът при основата е с 15° по-голям от ъгъла при върха C. Намерете ъглите на триъгълника. |
| 5 | Равнобедрен триъгълник има основа 10 cm и бедро 14 cm. Намерете периметъра му. | Периметърът на равнобедрен триъгълник е 36 cm. Бедрото е 2 пъти по-дълго от основата. Намерете страните на триъгълника. |
| 6 | В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) единият остър ъгъл е 34°. Намерете другия остър ъгъл. | В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) острите ъгли се отнасят както 4 : 5. Намерете градусните им мерки. |
| 7 | Катетите на правоъгълен ΔABC са a = 6 cm и b = 8 cm. Намерете лицето S на триъгълника. | Правоъгълен ΔABC има катети a = 9 cm, b = 12 cm и хипотенуза c = 15 cm. Намерете височината hc към хипотенузата. |
| 8 | Ъглите на ΔABC се отнасят както 1 : 2 : 3. Определете вида на триъгълника и намерете ъглите му. | Ъглите на ΔABC се отнасят както 3 : 4 : 5. Намерете разликата между най-големия и най-малкия ъгъл. |
| 9 | Равностранен триъгълник има периметър P = 27 cm. Намерете страната му a. | Периметърът на равностранен ΔABC е 36 cm, а височината му е h = 10,4 cm. Намерете лицето S на триъгълника. |
| 10 | В ΔABC отсечката CD е височина (D ∈ AB). Ако ∠A = 50° и ∠B = 60°, намерете ∠ACD и ∠BCD. | В остроъгълния ΔABC височините AD и BE се пресичат в точка H. Ако ∠C = 70°, намерете ∠AHB. |
| 11 | В ΔABC отсечката AL е ъглополовяща (L ∈ BC). Ако ∠B = 40° и ∠C = 80°, намерете ъглите на ΔALC. | В ΔABC ъглополовящите AL1 и BL2 се пресичат в точка O. Ако ∠C = 64°, намерете ∠AOB. |
| 12 | Страните на триъгълник се отнасят както 3 : 4 : 5, а периметърът му е 60 cm. Намерете най-дългата страна. | Страните на ΔABC се отнасят както 2 : 3 : 4. Разликата между най-дългата и най-късата страна е 8 cm. Намерете периметъра P. |
| 13 | В ΔABC страна a = 15 cm и ha = 6 cm. Ако страната b = 10 cm, намерете височината hb. | В ΔABC страните са a = 12 cm и b = 16 cm. Сборът от височините ha + hb = 14 cm. Намерете лицето S на ΔABC. |
| 14 | Отсечката CM е медиана в ΔABC. Ако периметърът на ΔAMC е 24 cm, AM = 5 cm и MC = 7 cm, намерете AC. | В ΔABC отсечката CM е медиана. Периметърът на ΔAMC е 20 cm, а периметърът на ΔBMC е 24 cm. С колко сантиметра BC е по-дълга от AC? |
| 15 | Ъглите на ΔABC са α = x, β = x + 20° и γ = 2x – 40°. Намерете x и ъглите на триъгълника. | В ΔABC ъгъл α е с 20° по-голям от β, а ъгъл γ е равен на средното аритметично на α и β. Намерете трите ъгъла. |
| 16 | Квадрат със страна 8 cm е разделен по диагонала си на два еднакви триъгълника. Намерете лицето на един от тях. | Правоъгълник със страни 10 cm и 6 cm съдържа триъгълник с основа едната страна на правоъгълника и връх върху срещуположната страна. Намерете лицето на триъгълника. |
| 17 | В ΔABC CH е височина и CL е ъглополовяща (H, L ∈ AB). Ако ∠A = 70° и ∠B = 30°, намерете ∠HCL. | В ΔABC (∠A > ∠B) ъгълът между височината CH и ъглополовящата CL е 18°. Ако ∠C = 80°, намерете ъглите ∠A и ∠B. |
| 18 | Периметърът на равнобедрен триъгълник е 28 cm. Едната му страна е 6 cm. Намерете останалите две страни (два случая). | Периметърът на равнобедрен триъгълник е 32 cm. Едната страна е с 5 cm по-дълга от другата. Намерете възможните дължини на страните. |
| 19 | Триъгълник има страна 14 cm и лице 42 cm². Намерете височината към тази страна. | Ромб с диагонали d1 = 12 cm и d2 = 16 cm е разделен от диагоналите си на 4 еднакви правоъгълни триъгълника. Намерете лицето на един такъв триъгълник. |
| 20 | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) ∠C = 40°. Лъчът AL е ъглополовяща на ∠A (L ∈ BC). Намерете ъглите на ΔALC. | В ΔABC отсечката CD е височина, а CM е медиана към AB. Ако ∠A = 40°, ∠B = 70° и AB = 12 cm, намерете ∠DCM и дължината на AM. |
Многостъпкови задачи:
| № | Вариант А | Вариант Б |
| 1 | Ъглите $\alpha$ и $\beta$ са съседни, като $\alpha$ е корен на уравнението $3(x – 10^\circ) = x + 70^\circ$. Намерете ъглите на правоъгълен $\Delta ABC$, ако един от острите му ъгли е равен на $\beta$. | Ъглите $\alpha$ и $\beta$ са съседни, като $\alpha$ е по-големият корен на $\vert{}2x – 40^\circ\vert{} = 60^\circ$. Намерете ъглите на $\Delta ABC$, ако вътрешните му ъгли се отнасят както $\alpha : \beta : (\alpha – 10^\circ)$. |
| 2 | В $\Delta ABC$ ъгъл $A$ е $20\%$ от прав ъгъл, а ъгъл $B$ е с $50\%$ по-голям от ъгъл $A$. Намерете ъгъл $C$, определете вида на триъгълника и намерете ъгъла между ъглополовящите на $A$ и $B$. | В $\Delta ABC$ ъгъл $A$ е с $25\%$ по-малък от ъгъл $B$, а ъгъл $C$ е с $150\%$ по-голям от ъгъл $A$. Намерете ъглите на $\Delta ABC$ и острите ъгли на $\Delta ADC$, където $CD \perp AB$. |
| 3 | Дължината на страната $a$ на $\Delta ABC$ е равна на стойността на израза $(x + 3)^2 – (x – 3)^2$ при $x = 1,5$. Височината $h_a$ е с $2\text{ cm}$ по-кратка от $a$. Намерете лицето $S$ на триъгълника. | Страната $a$ на $\Delta ABC$ е равна на числената стойност на $A = (2x + 1)^2 – 4x(x + 1) + 7$. Височината $h_a$ е $75\%$ от страната $a$. Намерете лицето $S$ и височината $h_b$, ако страна $b = 12\text{ cm}$. |
| 4 | Периметърът на равнобедрен $\Delta ABC$ е равен на корена на уравнението $0,5x – 4 = 14$. Ако бедрото и основата се отнасят както $3 : 2$, намерете страните на триъгълника. | Периметърът на равнобедрен $\Delta ABC$ е $P = 48\text{ cm}$, а бедрото е с $20\%$ по-дълго от основата. Намерете страните на $\Delta ABC$ и периметъра на $\Delta AMC$, ако $CM$ е медиана с дължина $10\text{ cm}$. |
| 5 | Правоъгълник $ABCD$ има страни $AB = 12\text{ cm}$ и $BC = 8\text{ cm}$. Точка $M$ е среда на $AB$, а $N$ е среда на $AD$. Намерете лицето $S$ на $\Delta MNC$ и го съпоставете с лицето на $ABCD$. | Квадрат $ABCD$ има страна $12\text{ cm}$. Точки $M$ и $N$ делят страните $AB$ и $BC$ в отношение $1 : 2$, считано от върховете $A$ и $B$. Намерете лицето на $\Delta MND$ и каква част е то от лицето на квадрата. |
| 6 | Ъглите на $\Delta ABC$ удовлетворяват условието: ъгъл $A$ е с $15^\circ$ по-голям от ъгъл $B$, а ъгъл $C$ е $2$ пъти по-голям от ъгъл $A$. Съставете уравнение, намерете ъглите и ги подредете по големина. | Ъглите $A$ и $B$ в $\Delta ABC$ се отнасят както $4 : 5$, а ъгъл $C$ е с $20^\circ$ по-малък от средното аритметично на $A$ и $B$. Намерете ъглите на $\Delta ABC$ и ъгъла между ъглополовящите на $A$ и $B$. |
| 7 | В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) ъглополовящата $AL$ образува с катета $BC$ ъгъл $\angle ALB = 110^\circ$. Намерете острите ъгли на $\Delta ABC$ и ъгъла между $AL$ и височината $CH$ ($H \in AB$). | В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) височината $CH$ и ъглополовящата $CL$ сключват ъгъл $15^\circ$. Намерете острите ъгли на $\Delta ABC$, както и лицето му $S$, ако $CH = 6\text{ cm}$ и $AB = 20\text{ cm}$. |
| 8 | Страните на триъгълник са $a = \vert{}x – 3\vert{}$, $b = x + 2$ и $c = 2x – 1$. Намерете периметъра $P$ при $x = 5$ и проверете чрез неравенство на триъгълника дали такъв триъгълник съществува. | Страните на $\Delta ABC$ са $a = 2x – 1$, $b = x + 4$ и $c = 3x – 5$. За коя стойност на $x$ триъгълникът е равнобедрен с основа $c$? Намерете периметъра $P$ и ъглите му, ако $a : b : c = 1 : 1 : 1$. |
| 9 | В $\Delta ABC$ страните са $a = 10\text{ cm}$ и $b = 15\text{ cm}$. Височината $h_a = 9\text{ cm}$. Намерете лицето $S$ на триъгълника и дължината на височината $h_b$. | В $\Delta ABC$ отношението на страните е $a : b = 3 : 4$, а сборът от височините им е $h_a + h_b = 28\text{ cm}$. Намерете височините $h_a$ и $h_b$, както и лицето $S$ на $\Delta ABC$, ако $a = 12\text{ cm}$. |
| 10 | В $\Delta ABC$ с лице $S = 60\text{ cm}^2$ отсечката $CD$ е медиана, а точка $M$ е среда на $CD$. Намерете лицето на $\Delta AMC$ и лицето на $\Delta ABM$. | В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана. Точка $P$ лежи на $CD$ така, че $CP : PD = 2 : 1$. Ако лицето на $\Delta ABC$ е $72\text{ cm}^2$, намерете лицата на трите триъгълника $\Delta APC$, $\Delta BPC$ и $\Delta APB$. |
| 11 | Ъгъл $\alpha$ в $\Delta ABC$ е по-малкият корен на уравнението $\vert{}x – 40^\circ\vert{} = 15^\circ$. Ако $\beta = 2\alpha – 10^\circ$, намерете $\gamma$, вида на $\Delta ABC$ и ъгъла между ъглополовящите на ъглите $\alpha$ и $\beta$. | Ъгъл $\alpha$ в $\Delta ABC$ е по-големият корен на уравнението $\vert{}2x – 70^\circ\vert{} = 30^\circ$. Ако $\beta$ е с $30\%$ по-малък от $\alpha$, намерете ъгъл $\gamma$, вида на $\Delta ABC$ и ъгъла между височините, спуснати от върховете $A$ и $B$. |
| 12 | Периметърът на $\Delta ABC$ е $54\text{ cm}$. Страната $a$ е с $20\%$ по-дълга от $b$, а страна $c$ е с $3\text{ cm}$ по-кратка от $a$. Намерете дължините на трите страни $a$, $b$ и $c$. | Лицето на $\Delta ABC$ е $S = 96\text{ cm}^2$. Страната $a$ е увеличена с $25\%$, а височината $h_a$ е намалена с $20\%$. Намерете лицето на новия триъгълник и изменено ли е то спрямо първоначалното. |
| 13 | В правоъгълна координатна система са дадени точки $A(1, 1)$, $B(7, 1)$ и $C(3, 5)$. Намерете дължината на $AB$, височината $h_c$ и лицето $S$ на $\Delta ABC$. | В координатна система са дадени $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$, $C(4, 5)$ и $D(-2, 5)$. Намерете лицето на квадрат/правоъгълник $ABCD$, лицето на $\Delta ABC$ и лицето на $\Delta AMC$, където $M$ е среда на $BC$. |
| 14 | Градусните мерки на ъглите $\alpha$ и $\beta$ в $\Delta ABC$ са равни на стойностите на изразите $A = (2a + 1)^2 – (2a – 1)^2$ при $a = 5$ и $B = 3\alpha – 10^\circ$. Намерете ъглите $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и вида на триъгълника. | Градусните мерки на $\alpha$ и $\beta$ са равни на стойностите на изразите $A = (x + 2)^3 – x(x + 3)^2$ при $x = 2$ и $B = (2y – 5)(2y + 5) – 4y^2 + 65$ при $y = 1$. Намерете ъгъл $\gamma$ и определете вида на $\Delta ABC$. |
| 15 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при върха $C$ е $40^\circ$. Височината $AD$ ($D \in BC$) и медианата $BM$ ($M \in AC$) се пресичат в точка $O$. Намерете $\angle BAD$ и $\angle CAD$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при основата е $70^\circ$. Издигнати са височината $AD$ към $BC$ и ъглополовящата $CL$ към $AB$, пресичащи се в точка $P$. Намерете ъглите на $\Delta APC$ и $\angle APL$. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!