Ако едночленът е единична строителна тухличка, то многочленът е цяла стена, изградена от тези тухлички. Нека я прескочим:
Какво е многочлен?
Многочленът е алгебричен сбор от едночлени. Едночлените, които образуват многочлена, се наричат негови членове.
-
Ако има два члена, се нарича двучлен (напр. $3x + 2$).
-
Ако има три члена, се нарича тричлен (напр. $x^2 – 5x + 6$).
Нормален вид на многочлен
Един многочлен често може да изглежда хаотичен и разхвърлян. За да можем да работим лесно с него, трябва да го приведем в нормален вид.
🔔 Дефиниция: Един многочлен е в нормален вид, когато:
Всички едночлени в него са приведени в нормален вид.
В него няма подобни едночлени (всички събирания и изваждания между подобни части са извършени).
Членовете му са подредени по низходящ ред на степените (от най-високата към най-ниската степен на главната променлива).
Алгоритъм за привеждане в нормален вид:
-
Стъпка 1: Привеждаме всеки отделен едночлен в нормален вид (умножаваме числата, събираме степените на еднаквите букви).
-
Стъпка 2: Подчертаваме и събираме/изваждаме подобните едночлени (групиране).
-
Стъпка 3: Подреждаме получените членове, като започваме от този с най-висока степен.
Пример стъпка по стъпка
Да се приведе в нормален вид многочленът:
-
Привеждаме отделните едночлени:
-
$3x \cdot 2x^2 = 6x^3$
-
$-2x^2 \cdot x = -2x^3$
-
Изразът става: $P = 6x^3 – 5x + 4x^3 – 2x^3 + 7$
-
-
Привеждаме подобните едночлени:
-
Подобни са $6x^3$, $4x^3$ и $-2x^3$.
-
Пресмятаме: $(6 + 4 – 2)x^3 = 8x^3$
-
Изразът става: $P = 8x^3 – 5x + 7$
-
-
Проверяваме подредбата:
-
Степените са съответно 3, 1 и 0. Многочленът е перфектно подреден по низходящ ред.
-
Краен нормален вид: $8x^3 – 5x + 7$
-
Важни характеристики на многочлена в нормален вид
Когато многочленът е в нормален вид, от него лесно можем да разчетем два ключови елемента:
-
Степен на многочлена: Това е най-високата степен от степените на едночлените, които го съставят. В горния пример степента е 3 (трета степен).
-
Свободен член: Това е членът, който не съдържа променлива (независимото число). В горния пример свободният член е $+7$.
| Многочлен в начален вид | Многочлен в нормален вид | Степен | Свободен член |
| $2x – 5 + 3x^2 – x$ | $3x^2 + x – 5$ | $2$ | $-5$ |
| $-4x \cdot x^2 + 7 – x^3$ | $-5x^3 + 7$ | $3$ | $+7$ |
| $a^2b – 3a^2b + 5$ | $-2a^2b + 5$ | $3$ (спрямо $a$ и $b$) | $+5$ |
| $x^4 – 2x^2 + 5x^4 – 3$ | $6x^4 – 2x^2 – 3$ | $4$ | $-3$ |
Често срещани „препъникамъни“ за седмокласниците:
-
Пропускане на знака пред свободния член: Учениците често казват, че свободният член на $3x – 4$ е $4$, забравяйки минуса.
-
Грешки при определяне на степента: Ако многочленът не е в нормален вид (напр. $x^5 – x^5 + x^2$), те автоматично казват „пета степен“, без да забележат, че най-високите степени се съкращават и реалната степен е втора.
-
Оставени неподредени членове: Технически изразът е верен, но липсата на подредба по степените води до хаос при следващата голяма тема – Формули за съкратено умножение.
© София-Мат ЕООД
