Продължете към съдържанието

Геометрична прогресия: свойства и формули

Геометричната прогресия е числова редица, в която отношението на всеки член към непосредствено предхождащия го член е постоянно число, различно от нула.

Свойства

Основните свойства на геометричната прогресия са:

  • Отношението на всеки член към предходния е константа, наречена частно на прогресията ($q$).
    $$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}, \text{ за } n \ge 1$$
  • Всеки член може да бъде изразен чрез първия член ($a_1$) и частното ($q$):
    $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
  • Всеки член, започвайки от втория, е средно геометрично на съседните си членове. Това означава, че квадратът на всеки член е равен на произведението на предходния и следващия член:
    $$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}, \text{ за } n \ge 2$$

    Вземайки корен квадратен, получаваме $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$. (Забележка: Това важи за членове с един и същ знак. В общия случай се взема абсолютна стойност.)

Прилагане на формулите

Основните формули, които се прилагат при геометрична прогресия, са:

1. Формула за общия член ($a_n$)

Използва се за намиране на кой да е член на прогресията, когато са известни първият член ($a_1$) и частното ($q$), както и за намиране на $a_1$ или $q$.

  • формула: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

  • пример: Ако $a_1 = 3$ и $q = 2$, то четвъртият член ($a_4$) е:
    $$a_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$$

2. Формула за сумата на първите $n$ члена ($S_n$)

Използва се за намиране на сбора от първите $n$ члена на прогресията.

  • формула (когато $q \ne 1$):
    $$S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n – 1)}{q – 1}$$
  • формула (когато $q = 1$):
    $$S_n = n \cdot a_1$$
  • пример: Ако $a_1 = 3$, $q = 2$, и искаме сумата на първите 4 члена ($S_4$):
    $$S_4 = \frac{3 \cdot (2^4 – 1)}{2 – 1} = \frac{3 \cdot (16 – 1)}{1} = 3 \cdot 15 = 45$$

    Прогресията е: 3, 6, 12, 24. Сумата е $3+6+12+24 = 45$.

3. Формула за сума на безкрайна геометрична прогресия ($S$)

Тази формула се прилага само за безкрайно намаляваща геометрична прогресия, т.е. когато $|q| < 1$ (абсолютната стойност на частното е по-малка от 1).

  • формула:
    $$S = \frac{a_1}{1 – q}$$
  • пример: Ако $a_1 = 8$ и $q = \frac{1}{2}$. Тъй като $|q| = 0.5 < 1$, сумата съществува:
    $$S = \frac{8}{1 – 1/2} = \frac{8}{1/2} = 8 \cdot 2 = 16$$

…

Геометричната прогресия се използва в много области, като:

  • финанси: Изчисляване на сложна лихва или анюитетни плащания.

  • биология: Моделиране на растеж на популации, при който темпът на растеж е пропорционален на текущия размер на популацията.

  • физика: Процеси на радиоактивен разпад или разпространение на вълни.

Ето няколко практически примера:

Задача 1: Биология (Експоненциален растеж)

Ситуация: В лабораторна среда имаме 1 бактерия. Този вид бактерии се делят на две (удвояват се) на всеки час.

Въпрос: Колко бактерии ще имаме точно след 10 часа?

Решение: Тук имаме геометрична прогресия, защото умножаваме по 2.

  • Старт ($a_1$): 1 (започваме с една бактерия).

  • Множител ($q$): 2 (удвояват се).

  • Стъпки ($n$): Търсим 11-тия член (началото е час 0, краят е час 10, така че ни трябва състоянието след 10 умножения). По-лесно е да мислим за формулата като „стартово число по множителя на степен броя изминали периоди“.

$$a_{11} = 1 \cdot 2^{10}$$
$$a_{11} = 1024$$

Отговор: След 10 часа ще имаме 1024 бактерии. Това показва силата на експоненциалния растеж.

Задача 2: Финанси (Сложна лихва)

Ситуация: Внасяте 1000 лв. в банка с годишна лихва 5%. Не теглите парите в продължение на 4 години.

Въпрос: Колко пари ще имате в края на 4-тата година?

Решение: Когато банката дава 5%, това означава, че парите ви се умножават по 1.05 всяка година (100% главница + 5% лихва = 105% или 1.05).

  • Старт ($a_1$): 1000 лв.

  • Множител ($q$): 1.05

  • Период ($n$): Търсим сумата след 4 умножения.

$$Сума = 1000 \cdot 1.05^4$$
$$1.05^4 \approx 1.2155$$
$$Сума = 1000 \cdot 1.2155 = 1215.50 \text{ лв.}$$

Отговор: Ще разполагате с 1215.50 лв.

Задача 3: Обезценяване на техника (Намаляваща прогресия)

Ситуация: Купувате нов лаптоп за 2000 лв. Всяка година той губи 20% от стойността си.

Въпрос: Колко ще струва лаптопът след 3 години?

Решение: Ако губи 20%, значи запазва 80% от стойността си. Тоест умножаваме по 0.8.

  • Старт ($a_1$): 2000

  • Множител ($q$): 0.8 (защото $100\% – 20\% = 80\% = 0.8$)

  • Години: 3

$$Цена = 2000 \cdot 0.8^3$$
$$0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.8 = 0.512$$
$$Цена = 2000 \cdot 0.512 = 1024 \text{ лв.}$$

Отговор: След 3 години лаптопът ще струва 1024 лв.

…

Сумата на ‘безкрайна’ (намаляваща) геометрична прогресия е една от най-красивите концепции в математиката, защото показва как можем да съберем безкраен брой числа и въпреки това да получим краен, точен резултат.

Ключът тук е условието $|q| < 1$. Тъй като всяко следващо число е по-малко от предишното, добавяме все по-малки и по-малки стойности. Накрая добавяме „почти нищо“.

Формулата е изключително проста:

$$S = \frac{a_1}{1 – q}$$

Нека разгледаме два примера:

1. Парадоксът на Зенон

Древногръцкият философ Зенон е формулирал парадокс, който гласи, че движението е невъзможно. Аргументът му е бил следният:

„За да стигнеш до стената, първо трябва да изминеш половината от пътя. След това трябва да изминеш половината от оставащия път. После половината от новия остатък… и така до безкрай. Тъй като имаш безкраен брой отсечки за изминаване, никога няма да стигнеш.“

Математиката обаче доказва, че Зенон греши, използвайки геометрична прогресия.

Математически модел:

Нека разстоянието до стената е 1 метър.

  1. Първа стъпка: изминаваме $1/2$ м.

  2. Втора стъпка: изминаваме $1/4$ м (половината на оставащата половина).

  3. Трета стъпка: изминаваме $1/8$ м.

Получаваме редицата: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$

  • $a_1 = 1/2$

  • $q = 1/2$ (защото всяка стъпка е наполовина по-малка)

Заместваме във формулата:

$$S = \frac{1/2}{1 – 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$$

Извод: Сумата от всички тези безкрайно много малки стъпки е точно 1. Тоест, вие наистина стигате до стената.

2. Скачащото топче

Условие: Пускаме топче от височина 2 метра. При всеки удар в земята то отскача на височина, равна на $1/3$ от предходната височина.

Въпрос: Какъв общ път ще измине топчето, докато спре напълно?

Решение:

Трябва да разделим движението на две части: първоначалното падане и последващите подскоци (нагоре и надолу).

  1. Първоначално падане: 2 метра (това е само надолу).

  2. Първи отскок: Топчето се качва на $2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ м и слиза също толкова. Общо за този отскок: $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ м.

  3. Втори отскок: Качва се на $1/3$ от предишната височина. Пътят е $1/3$ от предишния път ($\frac{4}{3}$).

Тук се образува прогресия за пътя след първия удар:

  • $a_1$ (пътят при първия пълен отскок): $\frac{4}{3}$ метра.

  • $q$ (кофициент на затихване): $1/3$.

Сумата на всички отскоци (без първото пускане) е:

$$S_{отскоци} = \frac{4/3}{1 – 1/3} = \frac{4/3}{2/3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2 \text{ метра}$$

Крайният резултат: Общият път е първоначалното пускане (2 м) + сумата от всички отскоци (2 м).

$$S_{общо} = 2 + 2 = 4 \text{ метра.}$$

Извод: Топчето ще измине точно 4 метра, преди теоретично да спре напълно.

Безкрайната геометрична прогресия ни позволява да моделираме процеси, които затихват във времето (като ехо, вибрации или движение със съпротивление), и да намерим техния точен краен резултат, вместо просто да гадаем.

…

Задачи за упражнение

  1. В геометрична прогресия е дадено $a_1 = 3$ и $q = 2$. Намерете $a_7$.

  2. Намерете частното $q$ на геометрична прогресия, ако $a_2 = 12$ и $a_5 = 324$.

  3. Намерете сумата на първите 6 члена на прогресия с $a_1 = 5$ и $q = -2$.

  4. Между числата 3 и 48 вмъкнете три числа, които заедно с дадените да образуват геометрична прогресия. Намерете сумата на безкрайната геометрична прогресия: $18, 6, 2, \dots$

  5. Четвъртият член на геометрична прогресия е 4, а шестият е 16. Намерете прогресията (всички възможни случаи).

  6. Дадена е прогресията $\frac{1}{3}, 1, 3, \dots, 2187$. Намерете броя на членовете ѝ.

  7. Намерете $x$, ако числата $x-1$, $x+1$ и $3x+3$ образуват геометрична прогресия в този ред.

  8. В геометрична прогресия $a_3 = 8$ и $a_5 = 32$. Намерете $S_5$, ако $q > 0$.

  9. Един басейн се пълни с вода, като всеки следващ час се налива количество, равно на половината от предходния. Първият час са налети 400 литра. Колко вода общо ще бъде налята, ако процесът продължи теоретично до безкрай?

Предизвикателни задачи

  1. Намерете сумата $7 + 77 + 777 + \dots + \underbrace{77\dots7}_{n}$.

  2. Решете уравнението $1 + x + x^2 + \dots + x^{100} = 0$.

  3. Страната на квадрат е $a$. Средите на страните му са върхове на втори квадрат. Средите на втория са върхове на трети и т.н. до безкрайност. Намерете сбора от лицата на всички квадрати.

  4. Три числа образуват геометрична прогресия. Сумата им е 26, а сумата от квадратите им е 364. Намерете числата.

  5. Решете уравнението $\frac{1}{x} + x + x^2 + \dots = \frac{7}{2}$, където дясната част (след $1/x$) е сума на безкрайна геом. прогресия.

  6. Произведението на първите три члена на геометрична прогресия е 64, а сумата от кубовете им е 584. Намерете прогресията.

  7. Докажете, че ако $a, b, c$ са в геометрична прогресия, то $\frac{1}{a^2-b^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{b^2-c^2}$.

  8. Намерете четири числа, образуващи геометрична прогресия, ако сумата на крайните е 27, а произведението на средните е 72.

  9. Топка пада от височина $H$. При всеки отскок тя губи $1/k$ част от енергията си (достига височина, по-малка с $1/k$). Какъв е общият път на топката до спирането ѝ?

  10. Намерете сумата: $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$. (Упътване: комбинира аритметичен множител с геометричен).

Комбинирани задачи с аритметична прогресия

Тук се търси връзката между свойствата $2b = a + c$ (за АП) и $b^2 = ac$ (за ГП).

  1. Три числа образуват геометрична прогресия. Ако третото се намали с 4, те образуват аритметична прогресия. Ако след това второто число (на новата прогресия) се намали с 1, отново се получава геометрична прогресия. Намерете числата.

  2. Сумата на три числа, образуващи аритметична прогресия, е 15. Ако към тях прибавим съответно 1, 4 и 19, ще получим геометрична прогресия. Намерете числата.

  3. Числата $a, b, c$ образуват аритметична прогресия, а числата $a, b+2, c+12$ образуват геометрична прогресия. Намерете числата, ако $a+b+c = 27$.

  4. Три числа образуват растяща геометрична прогресия. Ако средното число се удвои, се получава аритметична прогресия. Намерете частното $q$ на геометричната прогресия.

  5. Първият, петият и единадесетият член на аритметична прогресия образуват геометрична прогресия. Намерете частното на геометричната прогресия, ако първият член на аритметичната не е 0.

  6. Намерете три числа, които образуват геометрична прогресия, ако сумата им е 26, а ако към тях прибавим съответно 1, 6 и 3, се получава аритметична прогресия.

  7. Числата $x, y, z$ са различни и образуват геометрична прогресия, а $x+y, y+z, z+x$ образуват аритметична прогресия. Намерете $q$.

  8. Сборът на три числа, образуващи геометрична прогресия, е 13, а сборът на квадратите им е 91. Намерете числата.

  9. Числата $a_1, a_2, a_3$ образуват ГП. Логаритмите им $\lg a_1, \lg a_2, \lg a_3$ образуват АП. Докажете твърдението.

  10. Трицифрено число се дели на 5. Цифрите му образуват геометрична прогресия. Намерете числото, ако то е с 400 по-голямо от числото, записано със същите цифри в обратен ред.

© София-Мат ЕООД

 

 

 

Facebook
X (Twitter)
Copy link
URL has been copied successfully!