Взаимно положение на две прави. Условия за успоредност и перпендикулярност

Това е фундаментална тема в аналитичната геометрия. Разбирането на взаимното положение на две прави ни позволява да решаваме задачи, свързани с пресечни точки, намиране на разстояния и построяване на геометрични фигури.

В равнината две прави могат да бъдат в едно от следните три положения:

Пресичащи се (имат една обща точка).
Успоредни (нямат общи точки).
Съвпадащи (имат безброй много общи точки).

Условията за тези положения зависят от начина, по който са зададени уравненията на правите. Ще разгледаме двата най-често срещани вида уравнения.

I. Декартово (отрезово, явно) уравнение на права

y = kx + b

Където:

$k$ е ъгловият коефициент (наклонът на правата).
$b$ е отрезът от ординатната ос (точката, където правата пресича оста $Oy$ ).

Нека имаме две прави:

$g_1: y = k_1x + b_1$

$g_2: y = k_2x + b_2$

1. Условие за успоредност

Две прави са успоредни, ако имат еднакъв наклон, но пресичат оста $Oy$ в различни точки.

$k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$

Забележка: Ако $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$ , правите съвпадат напълно.

2. Условие за перпендикулярност

Две прави са перпендикулярни, ако произведението на техните ъглови коефициенти е равно на $-1$ . Това означава, че наклоните им са „обратни и противоположни“.

k_1 \cdot k_2 = -1

II. Общо уравнение на права

В аналитичната геометрия често се използва общото уравнение, което описва всички възможни прави (включително вертикалните):

Ax + By + C = 0

Тук векторът $\vec{n}(A, B)$ е нормален вектор.

III. Нормален вектор

В аналитичната геометрия нормалният вектор е един от най-фундаменталните инструменти за описване на прави в равнината (и равнини в пространството). Най-просто казано: Нормалният вектор е вектор, който е перпендикулярен (сключва ъгъл 90°) на дадена права.

1. Връзка с общото уравнение на правата

Ако имате права, зададена с общо уравнение:

Ax + By + C = 0

Тогава координатите на нормалния вектор $\vec{n}$ са директно коефициентите пред $x$ и $y$ :

\vec{n} = (A, B)

Това е изключително удобно, защото само с един поглед върху уравнението можете да разберете ориентацията на правата.

2. Конкретен пример

Нека имаме правата:

3x - 5y + 8 = 0

Коефициентът пред $x$ е 3 ( $A = 3$ ). Коефициентът пред $y$ е -5 ( $B = -5$ ). Следователно, нормалният вектор на тази права е:

\vec{n} = (3, -5)

Този вектор сочи в посока, перпендикулярна на нашата права.

3. Нормален или насочващ вектор

В геометрията често се бъркат тези две понятия. Ето разликата:

Характеристика	Нормален вектор (n)	Насочващ вектор (v или s)
Ориентация	Перпендикулярен на правата	Успореден на правата (лежи върху нея)
Връзка	Скаларното произведение $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$	Скаларното произведение $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$
Координати	Ако $\vec{n} = (A, B)$	Тогава $\vec{v} = (-B, A)$ или $(B, -A)$
Употреба	Главно в общото уравнение ( $Ax+By+C=0$ )	Главно в канонично или параметрично уравнение

4. За какво се използва?

Нормалният вектор е ключов за решаване на задачи като:

Намиране на разстояние от точка до права: Формулата използва дължината на нормалния вектор ( $\sqrt{A^2 + B^2}$ ).

Ако имаме точка $M(x_0, y_0)$ и права $g: Ax + By + C = 0$ , разстоянието $d$ се дава с:

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Построяване на уравнение на права: Ако знаете една точка $M(x_0, y_0)$ и нормалния вектор $\vec{n}(A, B)$ , уравнението е: $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$ .
Проверка за взаимно положение:
- Две прави са успоредни, ако нормалните им вектори са колинеарни (пропорционални).
- Две прави са перпендикулярни, ако скаларното произведение на нормалните им вектори е 0.

Внимание: В пространството (3D)

Важно е да се отбележи, че в тримерното пространство ( $x, y, z$ ), нормалният вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ не дефинира права, а равнина ( $Ax + By + Cz + D = 0$ ). За да дефинирате права в 3D, обикновено се използва насочващ вектор.

IV. Взаимно положение на прави чрез норм. вектор

Нека имаме две прави:

$g_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$

$g_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$

1. Условие за успоредност

Правите са успоредни, ако техните нормални вектори $\vec{n}_1(A_1, B_1)$ и $\vec{n}_2(A_2, B_2)$ са колинеарни (успоредни). Това означава, че координатите им са пропорционални.

\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}

Бележка: Ако и третото отношение е равно ( $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ ), тогава правите съвпадат.

2. Условие за перпендикулярност

Правите са перпендикулярни, ако техните нормални вектори са перпендикулярни. Това се случва, когато скаларното произведение на векторите е нула.

A_1A_2 + B_1B_2 = 0

Обобщена таблица

Взаимно положение	Чрез ъглови коефициенти (k)	Чрез общо уравнение (A,B,C)
Успоредни	$k_1 = k_2$	$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$
Перпендикулярни	$k_1 \cdot k_2 = -1$	$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$
Съвпадащи	$k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$	$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$
Пресичащи се (общ случай)	$k_1 \neq k_2$	$\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$

Ъгъл между две прави

Ако правите се пресичат, но не са перпендикулярни, ние често търсим ъгъла $\varphi$ между тях.

За прави, зададени с общо уравнение, косинусът на ъгъла се намира чрез скаларното произведение на нормалните им вектори:

\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

(Използваме модул в числителя, за да намерим острия ъгъл между правите).

I. Основни въпроси

Какво е геометричното значение на ъгловия коефициент $k$ в уравнението $y = kx + b$ ?
Ако две прави са зададени с уравнения $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ , какво е задължителното условие те да бъдат успоредни?
Каква е стойността на произведението $k_1 \cdot k_2$ , ако двете прави са перпендикулярни една на друга?
Какво представлява векторът $\vec{n}(A, B)$ в общото уравнение на правата $Ax + By + C = 0$ ?
Кога две прави, зададени с общи уравнения, съвпадат напълно (каква е връзката между коефициентите им)?
Възможно ли е да използваме условието $k_1 = k_2$ за доказване на успоредност на две вертикални прави?
Ако нормалните вектори на две прави са перпендикулярни, какво е взаимното положение на самите прави?
Какво показва свободният член $b$ в декартовото уравнение относно разположението на правата в координатната система?
Колко на брой решения има система от две линейни уравнения, които описват две пресичащи се прави?
Каква е формулата за проверка на перпендикулярност, ако правите са зададени с общи уравнения ( $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ )?

II. Предизвикателни въпроси

Граничен случай: Защо формулата $k_1 \cdot k_2 = -1$ не работи, ако едната права е хоризонтална, а другата – вертикална? Как се доказва перпендикулярност в този случай?
Връзка с вектори: Каква е връзката между условието за перпендикулярност на прави ( $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ ) и скаларното произведение на техните нормални вектори?
Разлика 2D/3D: Ако две прави нямат общи точки, следва ли задължително, че са успоредни?
Насочващ вектор: Ако нормалният вектор на една права е $(A, B)$ , защо векторът $(-B, A)$ играе ролята на насочващ вектор (успореден на правата)?
Сноп прави: Ако знаем уравненията на две пресичащи се прави, как можем да запишем уравнението на трета права, минаваща през пресечната им точка, без реално да изчисляваме координатите на тази точка?

I. Основни задачи

Определете взаимното положение на правите $3x - 2y + 7 = 0$ и $6x - 4y - 5 = 0$ .
Намерете уравнението на права, минаваща през т. $M(2, -3)$ и успоредна на правата $y = 4x + 1$ .
Напишете уравнението на права, минаваща през т. $P(-1, 2)$ и перпендикулярна на правата $2x + 3y - 4 = 0$ .
За коя стойност на параметъра $m$ правите $mx + 8y - 1 = 0$ и $2x + my - 3 = 0$ са успоредни?
За коя стойност на параметъра $a$ правите $ax + 3y - 2 = 0$ и $x - 2y + 5 = 0$ са перпендикулярни?
Намерете пресечната точка на правите $3x + y - 5 = 0$ и $x - 2y + 3 = 0$ .
Дадени са върховете на триъгълник $A(1, 1)$ , $B(4, 5)$ и $C(0, 8)$ . Намерете уравнението на правата, съдържаща височината през върха $C$ .
Намерете ъгловия коефициент на права, която е перпендикулярна на правата, минаваща през точките $A(2, 5)$ и $B(-1, -1)$ .
Проверете дали правите $y = 3x - 2$ , $y = -2x + 8$ и $x + y - 6 = 0$ се пресичат в една и съща точка.
Намерете косинуса на остри ъгъл между правите $x - 3y + 2 = 0$ и $2x + y - 4 = 0$ .

II. Предизвикателни задачи

Ортоцентър: Дадени са върховете на $\triangle ABC$ : $A(-1, 3)$ , $B(2, -2)$ и $C(5, 4)$ . Намерете координатите на ортоцентъра (пресечната точка на височините), използвайки свойствата на скаларното произведение на вектори ( $\vec{CH} \perp \vec{AB}$ ).
Симетрали: Намерете уравнението на симетралата на отсечката $AB$ , ако $A(2, 1)$ и $B(6, 5)$ .
Център на описана окръжност: Намерете координатите на центъра на описаната около триъгълника от задача 11 окръжност (пресечна точка на симетралите).
Медиана и височина: Напишете уравненията на медианата през върха $A$ и височината през върха $B$ на триъгълник с върхове $A(0, 0)$ , $B(4, 0)$ и $C(2, 6)$ . Намерете ъгъла между тях.
Разстояние между успоредни прави: Намерете разстоянието между правите $3x + 4y - 10 = 0$ и $6x + 8y + 5 = 0$ . (Упътване: вземете произволна точка от едната права и намерете разстоянието ѝ до другата).
Огледален образ (Симетрична точка): Намерете координатите на точка $M'$ , която е симетрична на точка $M(1, 2)$ спрямо правата $x - y + 3 = 0$ .
Проекция на точка: Намерете координатите на петата на перпендикуляра, спуснат от т. $P(3, 0)$ към правата $2x + y - 1 = 0$ .
Равноотдалечена точка: На абсцисната ос намерете точка $P$ , която е равноотдалечена от правите $3x - 4y + 2 = 0$ и $5x + 12y - 4 = 0$ .
Лице на фигура: Правите $x - y + 2 = 0$ , $x + y - 6 = 0$ и $y = 0$ образуват триъгълник. Намерете лицето му.
Възстановяване на квадрат: Даден е връх на квадрат $A(2, -1)$ и уравнението на една от страните му $x - 2y + 6 = 0$ (която не минава през $A$ ). Намерете лицето на квадрата.
Диагонали на ромб: Един от диагоналите на ромб лежи на правата $x - 2y = 0$ , а един от върховете му е $A(3, 4)$ . Ако страната на ромба е равна на $\sqrt{5}$ , намерете уравненията на страните му.
Успоредник: Дадени са уравненията на две съседни страни на успоредник $x + y - 1 = 0$ и $x - 2y = 0$ , както и пресечната точка на диагоналите $M(3, 3)$ . Напишете уравненията на другите две страни.
Векторно доказателство: Докажете, че правите $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ са успоредни, ако детерминантата $\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} = 0$ .
Сноп прави: Напишете уравнението на права, която минава през пресечната точка на правите $2x - y + 3 = 0$ и $x + y - 6 = 0$ и е успоредна на вектора $\vec{v}(2, 1)$ , без да намирате координатите на пресечната точка. (Използвайте уравнение на сноп прави: $L_1 + \lambda L_2 = 0$ ).
Отражение на светлинен лъч: Светлинен лъч тръгва от точка $A(1, 4)$ , отразява се от правата $x + y = 0$ (закон: ъгъл на падане = ъгъл на отражение) и минава през точка $B(5, 2)$ . Намерете координатите на точката на отражение върху правата.
Пресичане в квадрант: За кои стойности на параметъра $a$ пресечната точка на правите $x + y - 2 = 0$ и $ax + y - a - 2 = 0$ лежи в първи квадрант?
Ъглополовяща: Напишете уравненията на ъглополовящите на ъглите, заключени между правите $3x + 4y - 5 = 0$ и $5x - 12y + 3 = 0$ .
Минимално разстояние (Оптимизация): Върху правата $x + y - 2 = 0$ намерете точка $M$ , за която сумата от квадратите на разстоянията до точките $A(1, 1)$ и $B(-2, 3)$ е минимална.
Вписана окръжност: Дадени са уравненията на страните на триъгълник: $3x + 4y - 1 = 0$ , $4x - 3y + 2 = 0$ и $y = 2$ . Намерете координатите на центъра на вписаната окръжност. (Упътване: Центърът е пресечна точка на ъглополовящите).

Съвет: При решаването на „предизвикателните“ задачи (особено тези със симетрия и отражение), винаги правете чертеж. Това помага да видите геометричната идея на задачата.