Авторката Jo Boaler споделя 5 ключови прозрения от новата си книга Math-ish: Намиране на творчество, разнообразие и значение в
математиката.
връзка
Джо Боалер е професор в Станфордския университет и съосновател на youcubed и Struggly. Преди това е била професор по математика в Англия, учител по математика в лондонските общообразователни училища и изследовател в King’s College, Лондон.
1. Борбата и грешките карат мозъка ни да расте.
Преди да се захванем с каквато и да е математика, нека проучим някои важни идеи за подход към ученето и живота. Невролозите от Станфорд разкриват удивителни прозрения за това как мозъците ни обработват математика и други неща. Един от най-изненадващите и интересни факти е, че да се борим и да правим грешки са най-добрите времена за нашите мозъци. Както един невролог ми каза: „Ако не се бориш, не учиш.“ Като цяло обаче хората навсякъде се чувстват зле от времената на борба.
Когато преподавам на студенти, докторанти или ученици в Станфорд, споделям с тях, че грешките и времената на борба трябва да се празнуват! Те са, когато мозъците ни горят от свързаност, растеж и укрепване. Често споделям с тях и историята на известна грешка.
Последната теорема на Ферма е кръстена на френския математик Пиер дьо Ферма.
По математика знаем, че 3²+ 4² = 5² . Ферма направи смело твърдение – той каза, че подобен израз никога не може да работи с степен, по-висока от две, и имаше чудесно доказателство, че никога няма да работи – но той не сподели доказателството. Това накара математиците да търсят доказателството в продължение на стотици години.
„Има стойност в грешките и във времената, когато мозъците ни се борят.“
Повече от 350 години по-късно е намерено доказателство от английския математик Андрю Уайлс. Уайлс избра да сподели своето доказателство в Института Исак Нютон в Кеймбридж, Англия. Беше се разнесъл слух, че последната теорема на Ферма може да е решена и стаята беше пълна с над 200 математици и журналисти. Уайлс представи работата си в три различни лекции. Когато той свърши, стаята избухна в аплодисменти. През следващите няколко седмици се оказа, че има грешка в неговото доказателство и Уайлс се върна в кабинета си, за да работи още няколко месеца, преди да излезе с точно доказателство.
Това е интересна история сама по себе си. Той подчертава, че важната математическа работа не е свързана със скоростта, което е критично послание за хората. Нещо друго, което винаги подчертавам, е, че грешките, изтъкнати от Уайлс, сега са създали нови области на математиката, включително части от алгебрата. Както каза Питър Браун, „От руините на тези провали се издигнаха дълбоки теории, които отвориха огромни нови области на математиката.“
Има стойност в грешките и във времето, когато мозъците ни се борят. Тогава мозъците укрепват и растат. Това послание е важно не само за учениците в училище, но и за всички нас и в живота на всички ни. Когато учите нещо, трябва да искате да сте на ръба на разбирането си, да правите грешки, да ги коригирате и да правите повече. Този край е мястото, където се случва най-голямото развитие на знанието и креативността.
2. Начинът, по който подхождате към ученето и живота, има значение.
Хората смятат, че ако ви помолят да отговорите на математически въпрос или какъвто и да е въпрос, вие или имате знания, или не. Но в мозъците ни се случват още много неща. Успешните хора обикновено не са тези с повече знания; те са разработили специфични начини на работа.
Всичко започва с метапознанието. Хората смятат, че метапознанието е мислене за вашето собствено мислене. Въпреки че това е част от него, всъщност има четири различни аспекта на m-cog. Когато ги приемем, ставаме по-добри в решаването на проблеми, комуникаторите и задаващите въпроси. Ставаме по-мотивирани, развиваме по-добри взаимоотношения и ставаме по-успешни в работата си.
Човек, който е научил метакогнитивен подход, вероятно ще бъде любознателен и любопитен и ще цени различните гледни точки, което е толкова важно в света в момента. Важното е, че те се наслаждават на процеса на решаване на проблеми и учене. Тази сложна комбинация от решаване на проблеми на високо ниво, начин на мислене и планиране се случва, когато сме метакогнитивни в предния префронтален кортекс на нашите мозъци.
Първият аспект на метапознанието започва с вярата в себе си. Това означава, че знаете, че можете да разрешите проблема с усилия и работа, защото мисленето е част от метапознанието.
„Всичко започва с метапознанието.“
Вторият аспект на метапознанието е използването на различни стратегии. Тези стратегии включват да направите крачка назад и да прочетете проблема на глас, да нарисувате проблема, да го опростите или да опитате с по-малък случай. Учениците в часовете по математика рядко се учат на тези стратегии, но те обикновено правят разликата между успеха и неуспеха при проблеми.
Третият аспект е проследяване на напредъка. Метакогнитивните хора мислят какво са постигнали и какво трябва да постигнат. Те могат да използват дневник или скициране, като и двете спомагат за насърчаване на метапознанието.
И накрая, и може би най-важното, метакогнитивният човек е
саморефлексивен. Те се питат защо нещо работи или е такова, каквото е.
Всички тези метакогнитивни начини на съществуване могат да бъдат научени. Ако възприемете тези подходи, когато се сблъсквате с проблеми – в ученето или в живота – ще бъдете по-успешни, каквито и знания да имате.
3. Горе-долу.
Числата са навсякъде по света и ние всички ги използваме, под някаква форма, всеки ден от живота си. Но има нещо интересно в ежедневната ни употреба на числа, тъй като в почти всеки числов въпрос, който решаваме, даваме -ish отговори. Например: Каква част от луната можем да видим тази вечер? Колко време е пътуването до летището? На колко години си? Колко дъжд падна снощи? Колко души живеят в Съединените щати? Колко е дълъг Лондонският мост? Колко боя ми трябва, за да боядисам стената?
Освен това, всяка форма в света е -ish форма; няма идеален кръг, правоъгълник или квадрат. Но класните стаи по математика са свързани с прецизност. Около 80 процента от въпросите, на които отговаряме в света, имат отговор –иш (това е отговор), но в класните стаи около 99 процента са точни. Това е дисбаланс и аз призовавам да постигнем баланс.
Учителите навсякъде казват, че учениците нямат добър усет за числата и се губят в изчисленията, без да имат представа какъв трябва да бъде отговорът. Национален стандартизиран въпрос даде 7/8 + 12/13 и помоли хората да преценят отговора. Знаем, че 7/8 е почти 1, а 12/13 е почти 1, така че добра оценка би била 2.
Те дадоха възможни отговори от 1, 2, 19 или 21. Най-често срещаният отговор от 17-годишните в САЩ беше 19, следван от 21. Учениците правят тези грешки, защото никога не се иска от тях да отговарят -ish (горе-долу). Те не са развили усет за числа и се губят в
манипулирането на числата. Когато искате отговор, мозъкът ви остава на важно място. Мислите за понятието число и развивате усет за числа.
Има и други важни причини за търсенето на отговори. Много ученици и възрастни се страхуват от математиката. Това, от което се страхуват, е да не са прави. Искането на учениците да измислят отговори горе-долу ги освобождава от този страх. Виждал съм това в класни стаи и видеоклипове на моя уебсайт Mathish. Учителите питат учениците за техните приблизителни отговори и ръцете се вдигат из цялата стая. Дори най-срамежливият и неангажиран ученик е готов да сподели своите приблизителни отговори.
„Около 80 процента от въпросите, на които отговаряме в света, имат приблизителни отговори.“
Предлагам, преди който и да е ученик или човек да работи върху задача по изчисление или математика, да помисли за отговора и да излезе с отговор -ish. Това също не се ограничава до въпроси с числа. Преди да начертаете графика, опитайте се да си представите как ще изглежда. Това ще накара мозъка ви да се отдръпне от детайлния фокус и да премине в различен режим, мислейки концептуално, което е наистина важно.
Някои хора ме питат как да питате учениците да дават числа е различно от това да ги питате да оценяват. Те са едно и също нещо, но с важна промяна на езика. Когато помолим учениците да направят оценка, те смятат, че от тях се иска да изпълнят друг математически метод. Често изчисляват прецизно и го закръглят, за да изглежда като прогноза. Но когато помолим учениците да дават числа горе-долу, те се чувстват свободни. Те са по-склонни да споделят своите идеи и в същото време развиват чувство за числа.
Възприемането на приблизителна гледна точка освобождава в много части от живота и прави нещо важно за вашия мозък. Докато обикаляте света, за да изчислите цифри, вие не само ще се почувствате по-свободни, но и ще правите нещо наистина важно за мозъка си.
4. Можем да учим по-добре чрез математическото разнообразие.
Начинът, по който всички функционираме в света, е като си създаваме ментални модели от него. Например, ако ви помоля да помислите за телбод, вероятно можете да помислите как изглежда, звука, който издава телбодът, усещането на телбода в ръката ви и начина, по който телбодът се променя, когато взаимодействате с него. Вашият мозък е изградил модел на телбод, който се съхранява във вашия неокортекс, голяма и важна част от вашия мозък.
Оказва се, че когато учим, ни помага изграждането на ментални модели на идеи. Вашият мозък се връща към тези модели, когато трябва да използва знания. Има части от вашето собствено обучение, където сте изградили богати ментални модели, които все още можете да използвате и помните. Всичко в математиката може да се научи като визуален или физически модел, който учениците могат да видят, почувстват, да се движат и да взаимодействат с него.
Когато научихте за квадратни числа и квадратни корени, начертахте ли и построихте квадрати и усетихте ли ги? Раздвижихте ли ги в ръцете си? Когато разглеждахте квадратни корени, намирахте ли физически или визуално диагоналите на квадратите? Когато научихте за числата на кубчета, построихте ли кубчета? Докоснахте ли ги и ги усетихте, за да видите чертите им и да изградите ментален модел какво означава да си кубичен? Вероятно не сте го направили, така че вероятно не сте развили умствените модели, от които се нуждаете. Вероятно имате само няколко спомени за числата. Всичко може да се изживее визуално и физически, включително алгебрата.
Неврологията ни казва също, че имаме пет мозъчни пътища, които могат да бъдат използвани, когато мислим за математика. В задната част на главите ни има два важни зрителни пътя. Най-успешните хора в света са тези, които имат повече комуникация между различните мозъчни пътища. Те имат взаимосвързани мозъци. Тези взаимовръзки се изграждат, когато не просто преживяваме математиката като числа, но я виждаме визуално, изграждаме я, движим се, за да покажем идеите, и използваме думи, за да я опишем. Взаимовръзките се случват, когато преживяваме
математиката многоизмерно.
5. Математиката има богата културна история в света.
Малко хора научават за историята на числата, но ако научават, щяха да научат, че първите количествени записи в света идват от бразилската Амазонка. Картини, създадени от местни художници преди повече от 10 000 години, показват знаци „x“, броене на дни, луни и други цикли. Древните жители на Бразилия са обръщали внимание на количествата, които днес се смятат за първите праисторически числа.
„Тези решения останаха и затова имаме 12 часа на ден.“
В малка конгоанска област в Африка е намерена кост, която е очаровала историците през поколенията. Нарича се кост Ишанго и има дълбоко математическо значение. Счита се, че костта Ishango е на 20
хилядолетия и има набор от маркировки, които разкриват познаване на простите числа и десетичната система. Първите указания за тези важни части от нашата бройна система идват от Централна Африка.
Шумер е най-ранната известна цивилизация, живяла в района на това, което се нарича Месопотамия, сега „земята между реките“ в Ирак. По-късно вавилонците са живели в същия регион и именно шумерите и вавилонците са смятани за първите потребители на алгебрата. Думата алгебра идва от арабски: Al-Jabr, което означава повторно обединяване на счупени части. Движейки се във времето, числовата система, която познаваме и използваме на Запад, идва от арабската система, която на свой ред идва от индийската система. Учените в Индия са измислили числото нула.
Една от първите употреби на числа е показана в записа на времето. Хората се чудят защо нашата система за записване на времето е в единици от 12 или 24 (часа) и отговорът е, че идва от древните египтяни, които са разработили слънчеви часовници преди повече от 3000 години. Решението да разделят деня на 12 единици дойде от сянката, която можеха да видят на слънчевите часовници. Те видяха 10 единици от изгрев до залез и след това добавиха единица за зазоряване и друга за здрач. Тези решения останаха и затова имаме 12 часа на ден.
Когато погледнем богатата културна история на математиката, виждаме математическо разнообразие – тъй като самата математика е красиво разнообразна. Тя черпи от богатото многообразие на хора по целия свят и е част от нашата култура.
