След като преминахме през събирането и изваждането, където буквената част се явяваше просто „общ знаменател“ и не се променяше, при умножението, степенуването и делението правилата се променят. Тук на сцената излизат свойствата на степените.
Тези три операции често са по-лесни от събирането, защото няма нужда да търсят „подобни“ едночлени – операциите могат да се извършват между каквито и да е едночлени.
1. Умножение на едночлени
При умножението на два или повече едночлена целта е да ги обединим в един нов едночлен в нормален вид.
Правилото:
-
-
Умножаваме коефициентите (числата отпред), за да получим новия коефициент.
-
Умножаваме буквите, като за еднаквите основи събираме техните степенни показатели ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).
-
💡 Пример: > Пресметнете произведението: $3x^2y \cdot 4xy^3$
Умножаваме числата: $3 \cdot 4 = 12$
Събираме степените на $x$: $x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$ (напомняме, че ако няма степен, тя е $1$)
Събираме степените на $y$: $y^1 \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$
Краен резултат: $12x^3y^4$
2. Степенуване на едночлен
Степенуването всъщност е съкратено умножение на едночлена сам със себе си няколко пъти. За да повдигнем едночлен на степен, използваме свойството за степенуване на произведение: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Правилото:
-
Повдигаме коефициента на дадената степен (внимаваме много със знака, ако основата е отрицателно число!).
-
Повдигаме всяка променлива на степента, като умножаваме степенните показатели ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$).
💡 Пример:
Повдигнете в степен едночлена: $(-2x^3y^2)^3$
Степенуваме коефициента: $(-2)^3 = -8$ (нечетна степен запазва минуса)
Умножаваме степените за $x$: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$
Умножаваме степените за $y$: $(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$
Краен резултат: $-8x^9y^6$
3. Деление на едночлени
Делението е обратната операция на умножението. Тук е важно да отбележим, че в училищния курс по математика (особено в 7. клас) се разглеждат случаи, в които степента на променливите в делителя е по-малка или равна на тази в делимото, за да може резултатът отново да бъде едночлен.
Правилото:
-
Делим коефициентите (често резултатът се записва като обикновена или десетична дроб).
-
Делим буквените части, като за еднаквите основи изваждаме степенните показатели ($x^m : x^n = x^{m-n}$).
💡 Пример:
Разделете едночлените: $15x^5y^3 : (3x^2y)$
Делим числата: $15 : 3 = 5$
Изваждаме степените на $x$: $x^5 : x^2 = x^{5-2} = x^3$
Изваждаме степените на $y$: $y^3 : y^1 = y^{3-1} = y^2$
Краен резултат: $5x^3y^2$
Често срещани „клопки“ за учениците:
-
Забравянето на степен 1: Когато променливата няма изписан показател (напр. $x$), учениците често си мислят, че степента е $0$, вместо $1$.
-
Минусът при степенуване: Пропускането на факта, че $(-3)^2 = +9$, но $(-3)^3 = -27$.
-
Коефициентът при деление: Опитът да се делят буквите, преди изобщо да са разделени числата отпред, или объркване, когато коефициентът се окаже дроб (напр. $2 : 4 = 0.5$).
© София-Мат ЕООД
