7.6.1 Какво е едночлен?

Едночленът е алгебричен израз, който съдържа само две неща: числа и променливи (букви), които са свързани помежду си само с действието умножение (или повдигане на степен, което е съкратено умножение).

⚠️ Важно правило: В един едночлен не може да има събиране, изваждане или деление на променлива (буквата да е в знаменател).

Това са едночлени: $5x$ , $-3a^2b$ , $\frac{1}{2}x^3$ , дори само числото $7$ или само променливата $y$ .
Това НЕ са едночлени: $x + y$ (има събиране), $2a - 3$ (има изваждане), $\frac{5}{x}$ (променливата е в знаменател).

Анатомия на едночлена

Всеки едночлен се състои от две основни части:

Коефициент: Числовата част (заедно с нейния знак). Пише се най-отпред.
Главна (буквена) част: Променливите и техните степени.

Нормален вид на едночлен

Често в задачите едночленът е „разхвърлян“ — например $2 \cdot x \cdot 3 \cdot y \cdot x^2$ . Изглежда хаотично, нали?

За да можем да работим лесно с него, трябва да го приведем в нормален вид. Един едночлен е в нормален вид, когато отговаря на три златни правила:

Има точно един числов множител (коефициент), записан най-отпред.
Всяка променлива (буква) се среща точно веднъж, повдигната на съответната степен.
Буквите са подредени по азбучен ред (това е въпрос на математическа култура и прегледност).

Как привеждаме в нормален вид? (Алгоритъм)

Стъпка 1: Групираме и умножаваме всички числа, за да получим крайния коефициент.
Стъпка 2: Групираме еднаквите букви и прилагаме правилата за събиране на степени при умножение ( $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ ).
Стъпка 3: Подреждаме по азбучен ред.

Ето как изглежда това на практика:

Ненормален вид на едночлена	Процес на преобразуване	Нормален вид
$2 \cdot x \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y$	$(2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y$	$6x^3y$
$-a \cdot 5 \cdot b \cdot (-2) \cdot a$	$(-1 \cdot 5 \cdot (-2)) \cdot (a \cdot a) \cdot b$	$10a^2b$
$x^2 \cdot y \cdot (-1) \cdot z \cdot 3$	$(-1 \cdot 3) \cdot x^2 \cdot y \cdot z$	$-3x^2yz$

Два специални случая, които често подвеждат

Коефициент $1$ или $-1$ : Ако едночленът е $x^2y$ , неговият коефициент е скрит — той е $1$ . Ако едночленът е $-ab$ , неговият коефициент е $-1$ . При нормален вид единицата не се пише изрично, но винаги трябва да я имаме предвид.
Свободните числа: Числото $5$ също е едночлен в нормален вид. Неговата буквена част просто липсва (или можем да си представим, че буквите са на степен $0$ , тъй като $x^0 = 1$ ).

И един бонус: Степен на едночлен

След като едночленът е в нормален вид, неговата степен се намира изключително лесно: тя е сборът от степенните показатели на всички негови променливи.

Пример: За едночлена $6x^3y^2$ степента е $3 + 2 = 5$ (едночлен от пета степен).
Пример: За едночлена $-3x^2yz$ (помним, че $y = y^1$ и $z = z^1$ ), степента е $2 + 1 + 1 = 4$ (едночлен от четвърта степен).

Искате ли да пробваме с няколко примерни израза, които да превърнем заедно в нормален вид, или предпочитате да преминем към следващата стъпка — събиране и изваждане на едночлени?