7.48.Т Линейно неравенство с едно неизвестно. Еквивалентни неравенства.

Темата пренася правилата за решаване на уравнения към неравенствата, като въвежда една важна специфика: внимателното управление на посоката на знака.

1. Какво е линейно неравенство с едно неизвестно?

Неравенство, което съдържа само едно неизвестно от първа степен и след преобразуване може да се доведе до един от следните четири канонични вида:

ax + b > 0 \quad \vert{} \quad ax + b < 0 \quad \vert{} \quad ax + b \ge 0 \quad \vert{} \quad ax + b \le 0

$x$ е неизвестното число;
$a$ и $b$ са дадени числа (коефициенти), като $a \ne 0$ ;
Строги неравенства: $>$ и $<$ (числото $a$ не е решение);
Нестроги неравенства: $\ge$ и $\le$ (числото $a$ също е решение).

2. Еквивалентни (равносилни) неравенства

Две неравенства с едно и също неизвестно се наричат еквивалентни (равносилни), когато имат едни и същи решения (или и двете нямат решение).

За обозначаване на еквивалентност се използва знакът

\Leftrightarrow

Пример: Неравенствата $3x > 12$ и $x > 4$ са еквивалентни ( $3x > 12 \Leftrightarrow x > 4$ ), защото и за двете решение са всички числа, строго по-големи от $4$ .

3. Основни теореми (правила) за еквивалентност

За да решите едно неравенство, го преобразувате в по-прости, но еквивалентни на него неравенства чрез следните правила:

Прехвърляне на член: Всеки член може да се прехвърли от едната страна на неравенството в другата с променен знак.

$ax + b > c \iff ax > c - b$
Тъждествени преобразувания: Всяка от страните може да се замени с тъждествено равен израз (разкриване на скоби, привеждане под общ знаменател, събиране на подобни членове).
Умножение/деление с положително число ( $c > 0$ ): Посоката на неравенството се запазва.

$2x > 8 \underset{: 2}{\iff} x > 4$
Умножение/деление с отрицателно число ( $c < 0$ ) — Изключително важно: Посоката на неравенството се обръща ( $>$ става $<$ , $\le$ става $\ge$ и т.н.).

$-3x < 15 \underset{: (-3)}{\iff} x > -5$

4. Числови интервали и геометрично представяне

Решенията на линейните неравенства се записват като числови интервали и се изобразяват върху числовата ос:

Неравенство	Запис като интервал	Вид на интервала	Изписване върху числовата ос
x > a	x in (a; +inf)	Отворен	Празна (незапълнена) точка при a
x >= a	x in [a; +inf)	Затворен отляво	Плътна (запълнена) точка при a
x < a	x in (-inf; a)	Отворен	Празна (незапълнена) точка при a
x <= a	x in (-inf; a]	Затворен отдясно	Плътна (запълнена) точка при a

5. Стъпки за решаване на линейно неравенство

Освобождаване от знаменатели (чрез умножение на двете страни с НОК).
Разкриване на скоби.
Прехвърляне: Неизвестните $x$ отиват отляво, а известните числа — отдясно (с противоположен знак).
Привеждане на подобни членове до вид $ax > b$ (или друг от 4-те знака).
Разделяне на коефициента $a$ :
- Ако $a > 0 \implies x > \frac{b}{a}$ (знакът се запазва);
- Ако $a < 0 \implies x < \frac{b}{a}$ (знакът се обръща!).

6. Специални случаи (когато $a = 0$ )

При опростяване е възможно

x

да се съкрати и да се получи

0 \cdot x > b

(или друг знак):

Вярно числово неравенство: Напр. $0 \cdot x > -3 \implies 0 > -3$ . Всяко число е решение ( $x \in (-\infty; +\infty)$ ).
Невярно числово неравенство: Напр. $0 \cdot x > 3 \implies 0 > 3$ . Няма решение ( $x \in \emptyset$ ).