| № | Вариант А | Вариант Б |
| 1 | Сравнете числата $A = 4 \cdot 7 – 12$ и $B = 3 \cdot 8 – 5$, като пресметнете знака на разликата $A – B$. | Известно е, че $x < y$. Сравнете изразите $P = 4x – 3y$ и $Q = 4y – 3x$, като изследвате знака на разликата $P – Q$. |
| 2 | Дадено е неравенството $a > b$. Поставете знак ($>$, $<$ или $=$) между изразите $a – 7$ и $b – 7$, както и между $15 + a$ и $15 + b$. | Докажете, че ако $a + 4 > b – 1$, то $a – b > -5$. Намерете най-малкото цяло число, което може да бъде стойност на разликата $a – b$. |
| 3 | За неравенството $x < y$ сравнете изразите: а) $5x$ и $5y$; б) $-4x$ и $-4y$; в) $\frac{x}{3}$ и $\frac{y}{3}$. | Дадено е, че $-3a > -3b$. Сравнете изразите $2 – 5a$ и $2 – 5b$, както и $\frac{a}{-2}$ и $\frac{b}{-2}$. |
| 4 | Известно е, че $a > 4$ и $b > 6$. Докажете, че $a + b > 10$ и намерете дали $a + b + 3$ е по-голямо от $12$. | Дадени са неравенствата $x > 3$, $y > -4$ и $z > 5$. Докажете, че $3x + y + 2z > 15$. |
| 5 | За положителните числа $a$ и $b$ е известно, че $a > 3$ и $b > 6$. Поставете правилен знак между $a \cdot b$ и числото $18$. | За положителните числа $x$ и $y$ е известно, че $x > 2$ и $y > 5$. Докажете, че $x \cdot y + 3 > 13$. |
| 6 | Ако $2 < x < 5$, намерете между кои две числа се намира стойността на израза $3x + 1$. | Ако $3 < a < 7$ и $1 < b < 4$, намерете между кои две числа се намира стойността на разликата $a – b$. |
| 7 | Дадено е, че $-2 < x < 3$. Оценете стойността на израза $A = 4 – 2x$. | Ако $-1 \le x \le 4$ и $2 \le y \le 5$, оценете най-малката и най-голямата възможна стойност на израза $K = 2x – 3y + 1$. |
| 8 | Известно е, че $a \cdot b > 0$ и $a + b < 0$. Определете знаците на числата $a$ и $b$. | Дадено е, че $a \cdot b < 0$, $b \cdot c > 0$ и $a \cdot c < 0$. Ако $a < b$, определете знаците на числата $a$, $b$ и $c$. |
| 9 | За положителните числа $a$ и $b$ е известно, че $a > b > 0$. Сравнете техните реципрочни стойности $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$. | Известно е, че $0 < x < y$. Сравнете стойностите на изразите $1 + \frac{1}{x}$ и $1 + \frac{1}{y}$. |
| 10 | За положителните числа $a$ и $b$ е известно, че $a > b > 0$. Поставете правилен знак между $a^2$ и $b^2$. | За числата $x$ и $y$ е известно, че $0 < x < y$. Сравнете стойностите на изразите $x^2 + 2x$ и $y^2 + 2y$. |
| 11 | Докажете, че за всяко число $x$ е изпълнено неравенството $x^2 + 5 > 0$. | Докажете, че за всяко число $x$ е изпълнено неравенството $x^2 + 6x + 10 > 0$. |
| 12 | Докажете, че за всяко число $x$ е изпълнено неравенството $x^2 + 9 \ge 6x$. | Докажете, че за всеки числа $a$ и $b$ е вярно неравенството $a^2 + b^2 + 4 \ge 4(a + b – 1)$. За кои стойности на $a$ и $b$ се достига равенство? |
| 13 | Докажете, че за всеки две числа $a$ и $b$ е изпълнено $a^2 + b^2 \ge 2ab$. | Докажете, че за всеки три числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено неравенството $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$. |
| 14 | Докажете, че за всяко положително число $a > 0$ е вярно неравенството $a + \frac{4}{a} \ge 4$. | За положителните числа $a > 0$ и $b > 0$ е известно, че $a + b = 2$. Докажете, че $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2$. |
| 15 | Страните на триъгълник са $a = 5\text{ cm}$, $b = 8\text{ cm}$ и $c\text{ cm}$. Намерете между кои цели числа може да бъде дължината на страната $c$. | В един клас момчетата са $m$, а момичетата са $n$. Известно е, че $m > 12$ и $n > 10$. Докажете, че ако от класа отсъстват 3 момчета и 2 момичета, в класа остават повече от 17 ученици. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!