1. Основно определение (Сравняване чрез разлика)
За всеки две числа $a$ и $b$ тяхната взаимна разположеност се определя чрез знака на тяхната разлика $a – b$:
-
По-голямо число ($a > b$): $a – b > 0$ (разликата е положително число).
-
По-малко число ($a < b$): $a – b < 0$ (разликата е отрицателно число).
-
Равни числа ($a = b$): $a – b = 0$.
Геометричен смисъл: Върху числовата ос $a > b$ означава, че точката $a$ е разположена вдясно от точката $b$.
2. Основни свойства на числовите неравенства
Свойство 1: Транзитивност
Ако $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
Свойство 2: Прибавяне и изваждане на число
Ако към двете страни на едно неравенство прибавим или извадим едно и също число $c$, получаваме вярно неравенство със същата посока:
$$\text{Ако } a > b, \text{ то } a + c > b + c \quad \text{и} \quad a – c > b – c$$
Свойство 3: Умножение и деление с положително число ($c > 0$)
Ако умножим или разделим двете страни на неравенство с едно и също положително число, посоката на неравенството се запазва:
$$\text{Ако } a > b \text{ и } c > 0, \text{ то } a \cdot c > b \cdot c \quad \text{и} \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$
Свойство 4: Умножение и деление с отрицателно число ($c < 0$) — Ключово свойство
Ако умножим или разделим двете страни на неравенство с едно и също отрицателно число, посоката на неравенството се обръща:
$$\text{Ако } a > b \text{ и } c < 0, \text{ то } a \cdot c < b \cdot c \quad \text{и} \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$
Свойство 5: Почленно събиране на неравенства
Неравенства с еднаква посока могат да се събират почленно:
$$\text{Ако } a > b \text{ и } c > d, \text{ то } a + c > b + d$$
Свойство 6: Почленно умножение на положителни числа
Ако $a, b, c, d$ са положителни числа и неравенствата са с еднаква посока, те могат да се умножават почленно:
$$\text{Ако } a > b > 0 \text{ и } c > d > 0, \text{ то } a \cdot c > b \cdot d$$
3. Обобщителна таблица на свойствата
| Свойство | Условие / Претпоставка | Извод | Промяна на посоката |
| Транзитивност | a > b и b > c | a > c | Без промяна |
| Добавяне / Изваждане | a > b | a + c > b + c | Без промяна |
| Умножение с c > 0 | a > b и c > 0 | a.c > b.c | Без промяна |
| Умножение с c < 0 | a > b и c < 0 | a.c < b.c | Знакът се ОБРЪЩА |
| Почленно събиране | a > b и c > d | a + c > b + d | Без промяна |
| Почленно умножение | a > b > 0 и c > d > 0 | a.c > b.d | Без промяна |
4. Ключови методически уловки и типични грешки
-
Забравяне за обръщането на знака при умножение/деление с отрицателно число:Това е най-често допусканата грешка при трансформиране на неравенства от вида $-3x > 12 \implies x < -4$.
-
Забрана за почленно изваждане:Неравенства $a > b$ и $c > d$ НЕ могат да се изваждат почленно ($a – c > b – d$ е грешно!). Изваждането се извършва чрез умножение на второто по $-1$ и последващо събиране:$$\text{От } c > d \implies -c < -d \implies -d > -c \implies a – d > b – c$$
-
Забрана за почленно деление:Делението $a : c > b : d$ също е некоректно без преминаване към реципрочни стойности.
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!