7.38.Т Външен ъгъл на триъгълник

Определение: Външен ъгъл на триъгълник се нарича ъгъл, който е съседен на някой от неговите вътрешни ъгли.
Брой: При всеки връх има по 2 външни ъгъла (образувани от продължението на една от страните). Тъй като са връхни ъгли, те са равни помежду си. Така триъгълникът има общо 6 външни ъгъла (3 двойки равни).

Основни свойства и теореми

Основна теорема: Всеки външен ъгъл на триъгълник е равен на сумата от двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.

(Ако вътрешните ъгли са $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , а външният при върха $C$ е $\gamma'$ , то $\gamma' = \alpha + \beta$ )
Сбор със съседния вътрешен: Външният и съседният му вътрешен ъгъл са съседни, затова сборът им е 180° ( $\gamma + \gamma' = 180^\circ$ ).
Сбор на външните ъгли: Сборът от по един външен ъгъл при всеки от трите върха е равен на 360° ( $\alpha' + \beta' + \gamma' = 360^\circ$ ).
Неравенство за външния ъгъл: Всеки външен ъгъл е строго по-голям от всеки от двата несъседни вътрешни ъгъла ( $\gamma' > \alpha$ и $\gamma' > \beta$ ).

Типични приложения в задачи

Съкращаване на пресмятанията: Избягва се междинното пресмятане на третия вътрешен ъгъл. Вместо да се пресмята $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$ и след това $\gamma' = 180^\circ - \gamma$ , директно се използва $\gamma' = \alpha + \beta$ .
Задачи с външни ъглополовящи: Търсене на ъгли между ъглополовящата на външен ъгъл и противоположна страна или между две външни ъглополовящи (пресечната им точка е център на външновписана окръжност).
Доказване на равнобедрен триъгълник: Ако ъглополовящата на външния ъгъл при върха е успоредна на основата, триъгълникът е равнобедрен.