| № | Вариант А | Вариант Б (+10% трудност) |
| 1 | В ΔABC са дадени ∠A = 45° и ∠B = 65°. Намерете външния ъгъл при върха C. | В ΔABC са дадени ∠A = 52° 30′ и ∠B = 67° 30′. Намерете външния ъгъл при върха C. |
| 2 | Външният ъгъл при върха A на ΔABC е 120°, а ∠B = 50°. Намерете ∠C и вътрешния ∠A. | Външният ъгъл при върха A на ΔABC е 120°, а вътрешният ∠C е 2 пъти по-малък от ∠B. Намерете ∠B и ∠C. |
| 3 | Два от външните ъгли на ΔABC са 110° и 130°. Намерете третия външен ъгъл и всички вътрешни ъгли. | Два от външните ъгли на ΔABC са 125° и 140°. Намерете третия външен ъгъл и определете вида на триъгълника според ъглите му. |
| 4 | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) външният ъгъл при върха C е 100°. Намерете ъглите при основата AB. | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) външният ъгъл при основата (при връх A) е 130°. Намерете всички вътрешни ъгли и външния ъгъл при върха C. |
| 5 | Външните ъгли на ΔABC се отнасят както 2 : 3 : 4. Намерете най-големия вътрешен ъгъл. | Външните ъгли на ΔABC се отнасят както 3 : 4 : 5. Намерете отношението на вътрешните ъгли на ΔABC. |
| 6 | Един вътрешен ъгъл на триъгълник е с 40° по-малък от съседния му външен ъгъл. Намерете двата ъгъла. | Външен ъгъл на триъгълник е 4 пъти по-голям от съседния си вътрешен ъгъл. Намерете всички вътрешни ъгли, ако другите два вътрешни ъгъла са равни. |
| 7 | В ΔABC ъглите са ∠A = x + 10°, ∠B = 2x – 10°, а външният ъгъл при върха C е 4x – 30°. Намерете x и вътрешните ъгли. | В ΔABC външният ъгъл при A е 4x – 10°, а вътрешните ъгли са ∠B = 2x + 10° и ∠C = x + 20°. Намерете x, външния ъгъл при A и вътрешните ъгли. |
| 8 | В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) външният ъгъл при върха A е 140°. Намерете острите ъгли на триъгълника. | В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) външният ъгъл при един от острите върхове е 3 пъти по-голям от вътрешния остър ъгъл при същия връх. Намерете острите ъгли. |
| 9 | Докажете, че ако ъглополовящата на външния ъгъл при върха C на ΔABC е успоредна на страната AB, то ΔABC е равнобедрен (AC = BC). | Ъглополовящата на външния ъгъл при C сключва ъгъл 40° със страната AC. Ако AB е успоредна на тази ъглополовяща, намерете вътрешните ъгли на ΔABC. |
| 10 | В ΔABC ъгъл α представлява 20% от съседния си външен ъгъл α’. Ако β = 50°, намерете γ и външния ъгъл γ’. | В ΔABC външният ъгъл γ’ е с 50% по-голям от вътрешния ъгъл α. Ако β = 40°, намерете всички вътрешни и външни ъгли на триъгълника. |
| 11 | Ъглополовящите на външните ъгли при върховете A и B на ΔABC се пресичат в точка J. Ако ∠C = 70°, намерете ∠AJB. | Ъглополовящите на външните ъгли при A и B се пресичат в точка J. Ако ∠AJB = 50°, намерете вътрешния ъгъл ∠C и външния ъгъл при C. |
| 12 | Ъглополовящата на вътрешния ∠A и ъглополовящата на външния ъгъл при B в ΔABC се пресичат в точка P. Докажете, че ∠APB = γ / 2. | Ъглополовящата AL на ∠A и ъглополовящата на външния ъгъл при B се пресичат в P. Ако ∠APB = 35° и ∠B = 80°, намерете вътрешните ъгли на ΔABC. |
| 13 | В ΔABC CD е височина (D ∈ AB). Ако външният ъгъл при A е 130° и ∠B = 40°, намерете ъглите ∠ACD и ∠BCD. | В ΔABC CD е височина (D ∈ AB). Външният ъгъл при C е 120°, а ∠ACD = 30°. Намерете вътрешните ъгли на ΔABC и определете вида му. |
| 14 | Един външен ъгъл на равнобедрен триъгълник е 110°. Намерете вътрешните ъгли на триъгълника (разгледайте два случая). | Един външен ъгъл на равнобедрен триъгълник е 70°. Намерете вътрешните ъгли на триъгълника и обяснете защо има само един възможен случай. |
| 15 | В ΔABC CM е медиана към AB така, че AM = MC. Ако външният ъгъл при върха A е 140°, намерете ∠B и ∠ACB. | В ΔABC отсечката CM е медиана към AB. Външният ъгъл при върха M за ΔAMC е ∠BMC = 100°. Ако AC = CM, намерете ъглите на ΔABC. |
| 16 | Външният ъгъл α’ при върха A в ΔABC е по-големият корен на уравнението |x – 110°| = 30°. Ако β = 50°, намерете γ и вида на ΔABC. | Външният ъгъл γ’ в ΔABC е по-малкият корен на |2x – 200°| = 60°. Ако α : β = 2 : 3, намерете вътрешните ъгли и ъгъла между ъглополовящите на α и β. |
| 17 | Външният ъгъл α’ е равен на числената стойност на израза A = (x + 5)² – (x – 5)² при x = 6 (в градуси). Намерете ъглите на ΔABC, ако β = 2γ. | Външният ъгъл β’ е равен на стойността на B = (2x + 1)² – 4x(x + 1) + 119 за всяко x. Ако α е 40% от β’, намерете γ и ъгъла между височината CH и ъглополовящата CL. |
| 18 | В координатна система точките A(1, 1), B(5, 1) и C(1, 5) образуват ΔABC. Намерете външния ъгъл при върха A и лицето S на ΔABC. | В координатна система точките A(-3, 0), B(3, 0) и C(0, 3) образуват ΔABC. Намерете външния ъгъл при върха C, острите ъгли и лицето S на ΔABC. |
| 19 | В ΔABC външният ъгъл при C е 130°. Ъглополовящата на вътрешния ∠A и височината CH (H ∈ AB) се пресичат в точка O. Ако ∠A = 60°, намерете ∠AOH и ∠B. | В ΔABC външният ъгъл при A е 120°. Ъглополовящата на външния ъгъл при A и вътрешната ъглополовяща BL се пресичат в P. Ако ∠B = 40°, намерете ∠APB, ∠C и ъгъла между CH и CL. |
| № | Вариант А | Вариант Б (+10% трудност) |
| 20 | Отсечките $AB$ и $CD$ се пресичат в точка $O$, като $O$ е среда на $AB$ и $AC \parallel BD$. Докажете, че $\Delta AOC \cong \Delta BOD$ (по II признак). Ако външният ъгъл при върха $C$ в $\Delta AOC$ е $110^\circ$ и $\angle A = 40^\circ$, намерете $\angle BOD$ и съседния ъгъл на $\angle AOC$. | Отсечките $AB$ и $CD$ се пресичат в $O$, като $O$ е среда на $AB$ и $AC \parallel BD$. Точка $M \in AC$ е такава, че $OM \perp AC$ и $AO = CO$. Докажете, че $OM$ е височина и ъглополовяща в $\Delta AOC$. Ако външният ъгъл при $B$ за $\Delta BOD$ е $130^\circ$, намерете $\angle AOM$ и съседния му ъгъл $\angle BOM$. |
| 21 | В $\Delta ABC$ външният ъгъл при $C$ е $120^\circ$. Върху продълженията на $AC$ и $BC$ зад $C$ са нанесени отсечки $CD = AC$ и $CE = BC$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta DEC$ (по I признак). Ако $\angle A = 35^\circ$, намерете външния ъгъл при върха $D$ за $\Delta DEC$. | В $\Delta ABC$ външният ъгъл при $C$ е $130^\circ$, а съседният му $\angle ACB$ е $2$ пъти по-малък от $\angle A$. Върху продълженията на $AC$ и $BC$ зад $C$ са избрани точки $D$ и $E$ така, че $CD = AC$ и $CE = BC$. Докажете, че $AB \parallel DE$ и намерете вътрешните ъгли на $\Delta DEC$, както и външния ъгъл при върха $E$. |
| 22 | През средата $M$ на отсечката $AB$ са прекарани две успоредни прави $a \parallel b$ ($A \in a, B \in b$). Права $p$ през $M$ пресича $a$ в $C$ и $b$ в $D$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BMD$ (по II признак). Ако съседният ъгъл на $\angle AMC$ е $115^\circ$ и $\angle A = 40^\circ$, намерете $\angle BDM$. | Правите $a$ и $b$ са успоредни ($a \parallel b$). Отсечката $AB$ ги пресича в $A$ ($A \in a$) и $B$ ($B \in b$), а $O$ е нейната среда. Права $p$ през $O$ пресича $a$ в $C$ и $b$ в $D$. Ако външният ъгъл при $C$ в $\Delta AOC$ е $125^\circ$, а $\angle AOC$ е с $10^\circ$ по-голям от съседния си ъгъл, докажете $\Delta AOC \cong \Delta BOD$ и намерете ъглите на $\Delta BOD$. |
| 23 | В $\Delta ABC$ страните $AC$ и $BC$ са продължени съответно до точки $D$ и $E$ така, че $C$ е среда на $AD$ и $BE$. Докажете, че $AB \parallel DE$. Ако съседният ъгъл на $\angle BAC$ е $120^\circ$ и $\angle B = 50^\circ$, намерете външния ъгъл при върха $D$ в $\Delta CDE$. | В $\Delta ABC$ страните $AC$ и $BC$ са продължени зад $C$ съответно до $D$ и $E$ така, че $CD = AC$ и $CE = BC$. Права $l$ минава през $C$ и е успоредна на $AB$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta DEC$ и че $l$ е ъглополовяща на $\angle ACE$, ако $AC = BC$. Намерете $\angle CDE$, ако външният ъгъл при $B$ за $\Delta ABC$ е $135^\circ$, а $\angle A = 40^\circ$. |
| 24 | Правите $a \parallel b$. Точките $A, B \in a$ и $C, D \in b$ са такива, че $AD$ и $BC$ се пресичат в точка $O$, която е среда на $AD$. Докажете, че $\Delta AOB \cong \Delta DOC$ (по II признак). Ако външният ъгъл при $A$ за $\Delta AOB$ е $130^\circ$ и $\angle AOB = 75^\circ$, намерете вътрешните ъгли на $\Delta DOC$. | Правите $a \parallel b$. Точките $A, B \in a$ и $C, D \in b$ са такива, че $AD$ и $BC$ се пресичат в $O$, която е среда както на $AD$, така и на $BC$. Върху продължението на $AB$ зад $B$ е взета точка $E$. Докажете, че $\Delta AOB \cong \Delta DOC$. Ако външният ъгъл при върха $B$ за $\Delta ABC$ (ъгъл $\angle CBE$) е $140^\circ$ и $\angle CDO = 50^\circ$, намерете съседния ъгъл на $\angle ABC$ и ъглите на $\Delta AOB$. |
| 25 | В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана към $AB$. Върху продължението на $CD$ зад $D$ е нанесена точка $E$ така, че $DE = CD$. Докажете, че $\Delta ADC \cong \Delta BDE$ (по I признак) и че $AC \parallel BE$. Ако външният ъгъл при $A$ в $\Delta ABC$ е $125^\circ$ и $\angle ACD = 30^\circ$, намерете $\angle EBD$. | В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана към $AB$. Тя е удължена зад $D$ до $E$ така, че $DE = CD$. Външният ъгъл при $C$ за $\Delta ABC$ е $110^\circ$, а съседният му $\angle ACB$ е разделен от $CD$ на $\angle ACD = 35^\circ$ и $\angle BCD = 35^\circ$. Докажете, че $AE \parallel BC$ и $\Delta ADC \cong \Delta BDE$. Намерете външния ъгъл при върха $E$ в $\Delta BDE$. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!