| № | Вариант А | Вариант Б (+10% трудност) |
| 1 | В ΔABC AL е ъглополовяща (L ∈ BC). Ако ∠B = 40° и ∠C = 80°, намерете ъглите ∠ALB и ∠ALC. | В ΔABC AL е ъглополовяща (L ∈ BC). Ако ∠ALB = 110° и ∠C = 70°, намерете ъглите ∠A и ∠B. |
| 2 | В ΔABC CD е височина (D ∈ AB). Ако ∠A = 55° и ∠B = 35°, намерете ъглите ∠ACD и ∠BCD. | В ΔABC CD е височина (D ∈ AB). Ако ∠ACD = 25° и ∠BCD = 40°, намерете ъглите на ΔABC и определете вида му. |
| 3 | В ΔABC CM е медиана към AB = 16 cm. Ако AC = 0,1 m и BC = 1,4 dm, намерете AM, MB и периметъра на ΔAMC. | В ΔABC CM е медиана към AB = 14 cm. Ако периметърът на ΔAMC е 22 cm и AC = 0,9 dm, намерете дължината на медианата CM. |
| 4 | Височините AD и BE в остроъгълния ΔABC се пресичат в точка H (ортоцентър). Ако ∠C = 60°, намерете ∠AHB. | Височините AD и BE в остроъгълния ΔABC се пресичат в точка H. Ако ∠AHB = 125°, намерете ∠C и ∠DHE. |
| 5 | Ъглополовящите AL и BM в ΔABC се пресичат в точка O (инцентър). Ако ∠C = 70°, намерете ∠AOB. | Ъглополовящите AL и BM в ΔABC се пресичат в точка O под ъгъл ∠AOB = 130°. Намерете ъгъл ∠C. |
| 6 | В ΔABC CH е височина, а CL е ъглополовяща (H, L ∈ AB). Ако ∠A = 70° и ∠B = 30°, намерете ∠HCL. | В ΔABC (∠A > ∠B) ъгълът между височината CH и ъглополовящата CL е 16°. Ако ∠C = 60°, намерете ∠A и ∠B. |
| 7 | Медианите AD и BE в ΔABC се пресичат в медиоцентъра G. Ако AD = 15 cm, намерете дължините на отсечките AG и GD. | Медианите AD, BE и CF в ΔABC се пресичат в медиоцентъра G. Ако AG + BG = 18 cm, а AD + BE = 27 cm, намерете GD + GE. |
| 8 | В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) CM е медиана към хипотенузата AB. Ако AB = 18 cm, намерете дължината на CM и ъглите на ΔAMC, ако ∠A = 35°. | В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) CM е медиана към AB. Ако CM = 7,5 cm и BC = 9 cm, намерете периметъра на ΔBMC и ъгъл ∠B, ако ∠ACM = 50°. |
| 9 | Посочете местоположението на ортоцентъра H в: a) остроъгълен; б) правоъгълен; в) тъпоъгълен триъгълник. | В тъпоъгълен ΔABC (∠C = 120°) правите, съдържащи височините AD и BE, се пресичат в точка H. Намерете ∠AHB. |
| 10 | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) CD е височина към основата AB. Ако ∠C = 50° и AB = 12 cm, намерете ∠ACD, ∠A и дължината на AD. | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) ъглополовящата CL (L ∈ AB) има дължина 8 cm. Ако периметърът на ΔALC е 24 cm и AC = 10 cm, намерете периметъра на ΔABC. |
| 11 | В ΔABC ъглополовящата на вътрешния ∠A и ъглополовящата на външния ъгъл при върха B се пресичат в точка P. Намерете ∠APB, ако ∠C = 50°. | В ΔABC ъглополовящите на външните ъгли при върховете A и B се пресичат в точка J. Намерете ∠AJB, ако ∠C = 80°. |
| 12 | В равнобедрен ΔABC (AC = BC, ∠C = 40°) CD е медиана към AB, а AE е височина към BC. Намерете ъглите на ΔAEC и ∠AOC, където O = CD ∩ AE. | В равнобедрен ΔABC (AC = BC) височините AD и BE към бедрата се пресичат в точка H. Ако ∠AHB = 140°, намерете ъглите на ΔABC. |
| 13 | В ΔABC с лице S = 48 cm² CM е медиана. Точка K е среда на CM. Намерете лицето на ΔABK. | Медианите AD и BE в ΔABC се пресичат в медицентъра G. Ако лицето на ΔABC е 72 cm², намерете лицата на ΔABG и ΔBDG. |
| 14 | Точка O е център на вписаната окръжност (инцентър) в ΔABC. Ако ∠AOB = 120° и ∠BOC = 130°, намерете ъглите на ΔABC. | Точка H е ортоцентър на остроъгълния ΔABC. Ако ∠AHB = 110° и ∠BHC = 130°, намерете ъглите на ΔABC. |
| 15 | В ΔABC височината CH (H ∈ AB) и ъглополовящата AK (K ∈ BC) се пресичат в точка M. Ако ∠A = 60° и ∠B = 50°, намерете ∠AMC. | В ΔABC височината CD и ъглополовящата AL се пресичат в точка O. Докажете, че ∠AOC = 90° + ∠B/2 и намерете ∠AOC, ако ∠B = 44°. |
| 16 | В равностранен ΔABC точка H е ортоцентър. Намерете ъглите ∠AHB, ∠BHC и ∠CHA. | В равностранен ΔABC с височина h = 9 cm е построен медиоцентър G. Намерете разстоянието от G до върховете и до страните на триъгълника. |
| 17 | Симетралата на страната AC пресича AB в точка M. Ако BM = 4 cm, AM = 6 cm и периметърът на ΔBMC е 18 cm, намерете BC. | Симетралите на страните AC и BC в остроъгълния ΔABC се пресичат в точка O (център на описаната окръжност). Ако ∠AOB = 100°, намерете ∠C. |
| 18 | В ΔABC отсечките AD, BE и CF са медиани. Докажете, че AD + BE + CF < P(ΔABC). | В ΔABC отсечките AD, BE и CF са медиани, пресичащи се в G. Ако AD + BE + CF = 36 cm, намерете сумата AG + BG + CG. |
| 19 | В тъпоъгълен ΔABC (∠A > 90°) височините BD и CE се пресичат в точка H. Ако ∠A = 115°, намерете ∠BHC. | В тъпоъгълен ΔABC (∠C > 90°) височините AD и BE се пресичат в H. Ако ∠C = 130°, намерете ъгъла между правите AD и BE. |
| 20 | В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) CM е медиана, а CL е ъглополовяща. Ако ∠A = 30°, намерете ∠MCL. | В ΔABC (AC = BC) CM е медиана към AB, а AL е ъглополовяща към BC. Ако ∠C = 36°, намерете ъглите на ΔAOL, където O = CM ∩ AL. |
| 21 | Ъгъл α е корен на уравнението 5(x – 12°) – 3(x + 4°) = 28°. В ΔABC AL е ъглополовяща, а CH е височина. Ако ∠A = α и ∠B = α – 10°, намерете ∠HCL. | Ъгъл α е корен на уравнението (x + 30°)/2 + (x – 10°)/3 = 50°. В ΔABC ъглополовящите AL и BM се пресичат в O. Ако ∠A = α, а ∠B е с 20° по-малък от α, намерете ∠AOB. |
| 22 | Градусната мярка на ∠C в ΔABC е по-големият корен на уравнението |2x – 100°| = 40°. Ако височините AD и BE се пресичат в H, намерете ∠AHB. | Градусната мярка на ∠C в ΔABC е по-малкият корен на уравнението |3x – 150°| = 60°. Ъглополовящите на ∠A и ∠B се пресичат в O. Намерете ∠AOB и ъгъла между височините от A и B. |
| 23 | Дължината на медианата CM в ΔABC е равна на числената стойност на израза A = (x + 4)² – (x – 4)² при x = 0,5. Ако AB = 3A и AC = 10 cm, намерете периметъра на ΔAMC. | Дължината на височината hc в ΔABC е равна на стойността на A = (2x + 3)² – 4x(x + 3) при x = 7. Ако страна c = 12 cm, а страна a = 10 cm, намерете лицето S и височината ha. |
| 24 | В ΔABC ъгъл A е 40% от прав ъгъл, а ъгъл B е със 150% по-голям от ъгъл A. Височините AD и BE се пресичат в H. Намерете ъглите на ΔABC и ∠AHB. | В ΔABC страната c = 20 cm, а височината hc е с 40% по-къса от c. Лицето на ΔABC е увеличено с 25% чрез увеличаване на hc. Намерете новата височина hc’. |
| 25 | Вътрешните ъгли на ΔABC се отнасят както 2 : 3 : 4. Ъглополовящите AL и BM се пресичат в точка O. Намерете ъглите на ΔABC и ∠AOB. | В ΔABC височините ha, hb, hc се отнасят както 3 : 4 : 6, а най-голямата височина е 12 cm. Намерете останалите височини и лицата на триъгълниците, на които медианата CM разделя ΔABC, ако c = 10 cm. |
| 26 | Правите a || b са пресечени с секуща c, като два от съответните ъгли са 2x + 10° и 3x – 20°. В ΔABC два от ъглите са равни на x. Ако CH е височина, намерете ъглите на ΔAHC. | През инцентъра O на ΔABC е прекарана права p || AB, пресичаща AC в M и BC в N. Докажете, че MN = AM + BN. Ако AC = 12 cm и BC = 15 cm, намерете периметъра на ΔMNC. |
| 27 | В правоъгълна координатна система са дадени точки A(2, 1), B(8, 1) и C(5, 7). Намерете дължината на AB, височината hc към AB и лицето S на ΔABC. | В координатна система са дадени точки A(-3, -2), B(5, -2) и C(1, 4). Намерете медианата CM към AB (координати на M и дължина), височината hc и лицето S на ΔABC. |
| 28 | Турист изминава разстоянието AB за 4 часа със скорост 6 км/ч. Ако AB е основа на равнобедрен ΔABC и периметърът на ΔABC е 64 km, намерете бедрото AC и медианата CD към основата, ако P(ΔADC) = 48 km. | Две момчета тръгват от A и B едно срещу друго със скорости 4 km/h и 5 km/h и се срещат след 2 часа. Отсечката AB е страна c в ΔABC. Ако hc е 75% от c, намерете лицето S и височината ha, ако страна a = 15 km. |
| 29 | Най-голямото цяло число, решение на неравенството 3x – 5 < x + 7, е дължината на страната a в ΔABC (в cm). Ако ha = 5 cm, намерете лицето S на триъгълника. | Намерете целите стойности на x, за които съществува ΔABC със страни a = x + 1, b = 2x – 3 и c = 7. За най-голямото такова цяло x намерете периметъра P и проверете чрез неравенство на триъгълника дали медианата CM може да бъде 10 cm. |
| 30 | В ΔABC ъгъл A е равен на по-малкия корен на |x – 50°| = 20°. Ъглополовящата AL и височината CH се пресичат в точка O. Ако ∠B = 60°, намерете ∠AOC и отношението на лицата на ΔAOH и ΔAOC, ако HO : OC = 1 : 2. | В ΔABC (∠C = 90°) височината CH, ъглополовящата CL и медианата CM към хипотенузата AB са прекарани от върха C. Ако ∠A е корен на 2x + 10° = 70°, намерете ъглите ∠HCL и ∠LCM, както и лицето на ΔABC, ако CM = 10 cm и CH = 8 cm. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!