7.34.Т Ъгли, получени при пресичането на две прави с трета. Признаци за успоредност на две прави. Аксиома за успоредните прави.

Когато две прави

a

b

бъдат пресечени от трета права

c

(секуща) в две различни точки, в точките на пресичане се образуват общо 8 ъгъла (по 4 при всеки връх).

Спрямо разположението им спрямо правите

a

b

и секущата

c

, тези ъгли се разделят на следните основни двойки:

Видове двойки ъгли

Вид двойка ъгли	Описание на разположението
Кръстни ъгли	Лежат от различни страни на секущата $c$ . биват: • Вътрешни кръстни: между правите $a$ и $b$ . • Външни кръстни: извън ивицата между $a$ и $b$ .
Съответни ъгли	Лежат от една и съща страна на секущата $c$ — единият е вътрешен (между $a$ и $b$ ), а другият е външен.
Прилежащи ъгли	Лежат от една и съща страна на секущата $c$ . биват: • Вътрешни прилежащи: между правите $a$ и $b$ . • Външни прилежащи: извън ивицата между $a$ и $b$ .

Kога правите са успоредни ( $a \parallel b$ )

Когато двете прави

a

b

са успоредни, между образуваните ъгли възникват следните важни зависимости:

Кръстните ъгли са равни:
- Вътрешните кръстни ъгли са равни.
- Външните кръстни ъгли са равни.
Съответните ъгли са равни.
Прилежащите ъгли имат сбор $180^\circ$ :
- Сборът на вътрешните прилежащи ъгли е $180^\circ$ .
- Сборът на външните прилежащи ъгли е $180^\circ$ .

Признаци за успоредност на две прави

За да докажем, че две прави

a

b

са успоредни, е достатъчно да установим поне едно от следните условия при пресичането им със секуща:

По кръстни ъгли: Ако една двойка кръстни ъгли са равни $\Rightarrow a \parallel b$ .
По съответни ъгли: Ако една двойка съответни ъгли са равни $\Rightarrow a \parallel b$ .
По прилежащи ъгли: Ако една двойка прилежащи ъгли имат сбор $180^\circ \Rightarrow a \parallel b$ .

Полезни зрителни подсказки (буквени модели):

Z-образни ъгли $\rightarrow$ Кръстни ъгли (образуват формата на буквата Z или обърнато Z).

F-образни ъгли $\rightarrow$ Съответни ъгли (образуват формата на буквата F).

C-образни / U-образни ъгли $\rightarrow$ Прилежащи ъгли (образуват формата на буквата C).

За умници:

Аксиома за успоредните прави

Аксиомата определя единствеността на успоредната права и не се доказва – тя е основно приемане в евклидовата геометрия.

Формулировка: През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената.

Следствия от аксиомата

Транзитивност на успоредността: Ако две прави са отделно успоредни на трета, то те са успоредни и помежду си (Ако $a \parallel c$ и $b \parallel c$ , то $a \parallel b$ ).
Пресичане на секуща: Ако две прави са успоредни ( $a \parallel b$ ) и трета права $c$ пресича едната от тях ( $a$ ), то тя задължително пресича и другата ( $b$ ).
Перпендикулярност: Ако две прави са успоредни ( $a \parallel b$ ) и права $c$ е перпендикулярна на $a$ ( $c \perp a$ ), то $c$ е перпендикулярна и на $b$ ( $c \perp b$ ).

Разлика между „Признак“ и „Свойство“

Признак (От ъгли към успоредност): Тръгва се от намерени равни кръстни/съответни ъгли или сбор от $180^\circ$ на прилежащи ъгли и се доказва, че правите са успоредни ( $a \parallel b$ ).
Свойство (От успоредност към ъгли): Дадено е, че правите са успоредни ( $a \parallel b$ ), от което следва, че техните кръстни и съответни ъгли са равни, а прилежащите допълват до $180^\circ$ .