7.31.1 Теория Въведение в геометрията. Основни геометрични фигури и построения с линия и пергел. Ъглополовяща на ъгъл.

1. Основни понятия и градусна мярка

Точка, права и равнина: Недефинируеми (първични) понятия. Всички останали фигури се състоят от точки.
Отсечка и лъч:
- Отсечката $AB$ има начална и крайна точка и точно определена дължина.
- Лъчът $OA^\to$ има начало (точка $O$ ) и продължава безкрайно в една посока.
Ъгъл: Фигура, образувана от два лъча с общо начало (връх $O$ ).
Градус ( $1^\circ$ ): Основната мерна единица за ъгли. Един градус представлява $\frac{1}{180}$ част от изправения ъгъл (или $\frac{1}{360}$ част от пълния ъгъл).
- $1^\circ = 60'$ (минути)
- $1' = 60''$ (секунди)
Видове ъгли според градусната мярка $\alpha$ :
- Остър: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$
- Прав: $\alpha = 90^\circ$
- Тъп: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$
- Изправен: $\alpha = 180^\circ$
- Пълен: $\alpha = 360^\circ$

В Евклидовата геометрия се използват само два класически чертожни инструмента:

Линия (без скала): Служи за чертане на права, лъч или отсечка през две точки. С нея не се измерват дължини.
Пергел: Служи за пренасяне на разстояния (запазване на дължина) и за чертане на окръжности или дъги с даден радиус и център.

Дефиниция: Симетрала на отсечка

AB

се нарича правата

s

, която минава през средата

M

на отсечката и е перпендикулярна на нея (

s \perp AB

). Означава се с

s_{AB}

Теорема-свойство: Всяка точка $X$ , която лежи на симетралата $s_{AB}$ на отсечката $AB$ , е на равни разстояния от краищата ѝ $A$ и $B$ ( $XA = XB$ ).
Теорема-признак: Ако една точка $X$ е на равни разстояния от краищата $A$ и $B$ на отсечката $AB$ ( $XA = XB$ ), то тя лежи на симетралата $s_{AB}$ .

Построяване на симетрала с пергел и линия:

От точка $A$ с радиус $R > \frac{1}{2}AB$ се чертаят две дъги от двете страни на отсечката.
Със същия радиус $R$ се чертаят две дъги от точка $B$ .
Пресечните точки $P$ и $Q$ на дъгите се свързват с линия. Правата $PQ$ е търсената симетрала $s_{AB}$ .

Дефиниция: Лъч

OL^\to

, който излиза от върха

O

на

\angle MON

и го разделя на два равни ъгъла (

\angle MOL = \angle NOL = \frac{1}{2}\angle MON

Теорема-свойство: Всяка точка $X$ от ъглополовящата на даден ъгъл е на равни разстояния от раменете му ( $XA = XB$ , където $XA \perp OM$ и $XB \perp ON$ ).
Теорема-признак: Ако точка $X$ от вътрешността на ъгъл е на равни разстояния от раменете му, то тя лежи на неговата ъглополовяща.

Построяване на ъглополовяща с пергел и линия:

С игла във върха $O$ и произволен радиус се чертае дъга, пресичаща раменете $OM$ и $ON$ в точки $P$ и $Q$ .
От $P$ и $Q$ със същия радиус се чертаят две дъги във вътрешността на ъгъла, които се пресичат в точка $C$ .
С линия се прекарва лъчът $OC^\to$ , който е търсената ъглополовяща.