Основното правило за решаване на линейно параметрично уравнение с едно неизвестно ($x$) се базира на привеждането му до основния вид: $ax = b$
-
Преобразуване: Прехвърляме всички членове с $x$ отляво, а всички останали (параметри и числа) – отдясно.
-
Групиране: Извеждаме $x$ пред скоби, за да получим вида $(A)x = B$.
-
Изследване: Разглеждаме отделно случаите, когато коефициентът пред $x$ е равен на $0$ и когато е различен от $0$.
| Условие за a и b | Вид на уравнението | Брой решения | Заключение / Корен |
| $a \neq 0$ | $ax = b$ | Единствен корен | $x = \frac{b}{a}$ |
| $a = 0$ и $b = 0$ | $0 \cdot x = 0$ | Всяко число е корен | $x \in \mathbb{Q}$ (безброй много решения) |
| $a = 0$ и $b \neq 0$ | $0 \cdot x = b$ | Няма решение | $x \in \varnothing$ (няма корен) |
| № | Задачи Тип А | Задачи Тип Б | Задачи Тип В) |
| 1 | Намерете корена на уравнението $ax – 1 = 3$ при $a = 2$. | Намерете корена на уравнението $ax – 3 = 2x + a$ при $a = 4$. | Намерете корена на уравнението $(a + 1)x – 5 = 3x – 2a$ при $a = -2$. |
| 2 | За коя стойност на $a$ коренът на уравнението $ax = 10$ е $x = 2$? | За коя стойност на $a$ коренът на уравнението $2x – a = 3x + 2$ е $x = -1$? | За коя стойност на $m$ коренът на уравнението $3(x – m) + 2 = m(x + 1)$ е $x = 2$? |
| 3 | За кои стойности на $a$ уравнението $ax = 2$ има единствен корен? | За кои стойности на $a$ уравнението $ax = 5$ има единствен корен? | За кои стойности на $m$ уравнението $(m – 3)x = 7$ има единствен корен? |
| 4 | За коя стойност на $a$ уравнението $ax = 4$ няма корен? | За коя стойност на $a$ уравнението $ax – 2x = 3$ няма корен? | За коя стойност на $k$ уравнението $(2k – 4)x = k + 1$ няма корен? |
| 5 | За коя стойност на $a$ уравнението $ax = a$ има за корен всяко число? | За коя стойност на $a$ уравнението $ax + 2 = 3x + a – 1$ има за корен всяко число? | За коя стойност на $b$ уравнението $2(bx – 1) = 4x – b$ има за корен всяко число? |
| 6 | Решете спрямо $x$ уравнението $ax = x + 4$. | Решете спрямо $x$ уравнението $a(x – 1) = 2x + 3$. | Решете спрямо $x$ уравнението $m(2x + 1) = 3(x – m)$. |
| 7 | За коя стойност на $a$ уравнението $\frac{x + a}{2} = 3$ има корен $x = 4$? | За коя стойност на $a$ уравнението $\frac{x – a}{2} + \frac{ax}{3} = 1$ има корен $x = 3$? | За коя стойност на $k$ уравнението $\frac{2x + k}{4} – \frac{kx – 1}{3} = \frac{1}{2}$ има корен $x = -1$? |
| 8 | Направете пълно изследване на уравнението $(a – 1)x = a – 1$. | Направете пълно изследване на уравнението $(a – 2)x = a^2 – 4$. | Направете пълно изследване на уравнението $(m + 3)x = m^2 – 9$. |
| 9 | За коя стойност на $a$ уравненията $x + a = 5$ и $2x = 6$ са равносилни? | За коя стойност на $a$ уравненията $2x – a = 0$ и $3x + 1 = 7$ са равносилни? | За коя стойност на $m$ уравненията $m(x – 1) = 4$ и $\frac{x + 1}{2} = 3$ са равносилни? |
| 10 | За кои стойности на $a$ коренът на уравнението $x – a = 2$ е положителен? | За кои стойности на $a$ коренът на уравнението $2x – a = 4$ е положителен? | За кои стойности на $m$ коренът на уравнението $3x + 2m = m – 6$ е положителен? |
| 11 | За кои стойности на $a$ коренът на уравнението $x + a = -3$ е отрицателен? | За кои стойности на $a$ коренът на уравнението $ax + 3 = 2x – 1$ е отрицателен? | За кои стойности на $k$ коренът на уравнението $(k + 1)x – 2 = 3x + 4$ е отрицателен? |
| 12 | Намерете естествените стойности на $a$, за които коренът на $ax = 4$ е цяло число. | Намерете всички цели стойности на $a$, за които коренът на $ax = 6$ е цяло число. | Намерете всички цели стойности на $m$, за които коренът на $(m – 1)x = 12$ е цяло число. |
| 13 | Решете и изследвайте уравнението $(a^2 – 4)x = 0$. | Решете и изследвайте уравнението $(a^2 – 1)x = a – 1$. | Решете и изследвайте уравнението $(4m^2 – 1)x = 2m + 1$. |
| 14 | За кои стойности на $a$ уравнението $(a^2 – 9)x = 5$ няма корен? | За кои стойности на $a$ уравнението $(a^2 – 4)x = a – 2$ няма корен? | За кои стойности на $k$ уравнението $(9k^2 – 1)x = 3k – 1$ няма корен? |
| 15 | За кои стойности на $a$ уравнението $\vert{}x\vert{} = a – 2$ има точно два корена? | За кои стойности на $a$ уравнението $\vert{}x\vert{} = 2a – 6$ има точно два корена? | За кои стойности на $m$ уравнението $\vert{}x + 1\vert{} = 3m + 9$ има точно един корен? |
| 16 | Определете броя на корените на уравнението $\vert{}x\vert{} = a$ в зависимост от $a$. | Определете броя на корените на уравнението $\vert{}2x – 3\vert{} = a + 1$ в зависимост от $a$. | Определете броя на корените на уравнението $\vert{}5 – 3x\vert{} = 2m – 4$ в зависимост от $m$. |
| 17 | Разтвор от $100\text{ г}$ съдържа $a\%$ сол. Колко грама сол има в разтвора при $a = 15$? | Сплав от $200\text{ г}$ съдържа $a\%$ сребро. Колко грама сребро има в $500\text{ г}$ от същата сплав? | Разтвор от $m\text{ кг}$ съдържа $15\%$ сол. Колко килограма вода трябва да се изпарят, за да стане разтворът $20\%$-ов? |
| 18 | Автомобил изминава $S\text{ км}$ за $2\text{ ч}$. Изразете скоростта му $v$ чрез $S$. | Влак изминава $S\text{ км}$ със скорост $v\text{ км/ч}$. Намерете $v$, ако при увеличение на скоростта с $10\text{ км/ч}$ времето намалява с $1\text{ ч}$. | Турист изминава разстояние $S\text{ км}$ за $t\text{ ч}$. За колко часа ще измине същото разстояние, ако увеличи скоростта си с $20\%$? |
| 19 | За коя стойност на $a$ дробният израз $\frac{x}{a – 2}$ няма смисъл? | За кои стойности на $a$ уравнението $\frac{x}{a – 1} + 2 = \frac{3}{a – 1}$ има решение $x = 5$? | За кои стойности на $m$ уравнението $\frac{2x – 1}{m + 2} = \frac{x + 3}{m – 1}$ няма смисъл или няма решение? |
| 20 | Ако $x_1$ е корен на $x – a = 1$, а $x_2$ е корен на $x + a = 3$, намерете $x_1 + x_2$. | Ако $x_1$ е корен на $2x – a = 1$, а $x_2$ е корен на $3x + 2a = 4$, намерете $a$, за което $x_1 + x_2 = 3$. | Ако $x_1$ е корен на $m(x – 1) = 2$, а $x_2$ е корен на $2(x + m) = 6$, намерете $m$, за което $x_1 – x_2 = 1$. |
| 21 | За кои стойности на $a$ уравнението $(a^2 + 1)x = 5$ има единствен корен? | Докажете, че за всяко $a$ уравнението $(a^2 + 1)x = a + 3$ има единствен корен. | Докажете, че за всяко $m$ уравнението $(m^2 + 2)x = m^3 – 1$ има единствен корен и намерете корена при $m = 0$. |
| 22 | За кои стойности на $a$ уравнението $(x – 1)(x – a) = 0$ има корен $x = 2$? | Намерете стойностите на $a$, за които уравнението $(ax – 2)(x – a + 1) = 0$ има корен $x = 1$. | Намерете стойностите на $k$, за които уравнението $(2kx + 3)(kx – k) = 0$ има точно один различен корен. |
| 23 | За коя стойност на $a$ уравнението $\vert{}x\vert{} + \vert{}a\vert{} = 0$ има решение $x = 0$? | Намерете $a$, за което коренът на $\vert{}x – a\vert{} + \vert{}x + a\vert{} = 0$ е $x = 0$. | За кои стойности на $m$ уравнението $\vert{}x – 2\vert{} + \vert{}m\vert{} = 0$ има решение? |
| 24 | За кои стойности на $a$ уравнението $0 \cdot x = a – 3$ има безброй много решения? | Изследвайте за кои стойности на $a$ и $b$ уравнението $(a – b)x = a^2 – b^2$ има безброй много решения. | Изследвайте за кои стойности на $m$ и $n$ уравнението $(m + n)x = m^2 – n^2$ няма решение. |
| 25 | Решете спрямо $x$ уравнението $a(a – 1)x = a – 1$. | Решете спрямо $x$ уравнението $(a^3 – a)x = a^2 – 1$. | Решете спрямо $x$ уравнението $(m^3 – 4m)x = m^2 – 2m$. |
| 26 | За кои стойности на $a$ коренът на $x – a = 3$ е по-голям от $2$? | За кои стойности на $a$ коренът на $3x – 2a = x + 4$ е не по-малък от $5$? | За кои стойности на $m$ коренът на $2(x – m) = 3m – x$ е не по-голям от $-2$? |
| 27 | Намерете стойността на $a$, за която $\vert{}ax + 1\vert{} = 3$ има корен $x = 1$. | Намерете стойностите на $a$, за които уравнението $\vert{}(a – 1)x + 3\vert{} = 5$ има корен $x = 2$. | Намерете стойностите на $m$, за които уравнението $\vert{}(2m + 1)x – m\vert{} = 3$ има корен $x = -1$. |
| 28 | Покажете, че при $a = 2$ коренът на $(a – 1)x = 3$ е корен и на $x + 1 = 4$. | Намерете $a$, така че всеки корен на $(a – 1)x = a^2 – 1$ да е корен и на $2x – a = 3$. | Намерете $m$, така че решението на $mx – 3 = 2x + m$ да удовлетворява и $m^2x – 6 = 0$. |
| 29 | Направете пълно изследване на уравнението $(a – 2)(a – 3)x = 0$. | Направете пълно изследване на уравнението $(a^2 – 3a + 2)x = a – 2$. | Направете пълно изследване на уравнението $(m^2 + 4m + 3)x = m + 3$. |
| 30 | Намерете $a$, за което уравнението $(x – a)^2 = x^2$ има корен $x = 2$. | За кои стойности на $a$ уравнението $(ax – 1)^2 = (ax + 3)^2$ има корен $x = 2$? | За кои стойности на $k$ уравнението $(kx – k)^2 = (kx + 2)^2$ няма корен или има единствен корен? |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!