7.23.1 Теория Уравнението (ax + b)(cx + d) = 0

Уравнението от вида $(ax + b)(cx + d) = 0$ свързва разлагането на многочлени на множители с решаването на уравнения от по-висока степен.

Основната идея тук е изключително проста, но изключително мощна.

1. Фундаменталното правило

Целият метод се крепи върху едно основно аритметично свойство на умножението:

Произведението на два (или повече) множителя е равно на нула тогава и само тогава, когато поне един от множителите е равен на нула.

Изразено с математически символи:

Това ни позволява да разбием едно по-сложно уравнение на две елементарни линейни уравнения, които вече умеем да решаваме безупречно.

2. Алгоритъм за решаване

За да решите $(ax + b)(cx + d) = 0$:

1. Първо уравнение: Записвате $ax + b = 0$ и намирате първия корен $x_1 = -\frac{b}{a}$ (при $a \ne 0$).

2. Второ уравнение: Записвате $cx + d = 0$ и намирате втория корен $x_2 = -\frac{d}{c}$ (при $c \ne 0$).

3. Записване на отговора: Уравнението има два корена: $x_1$ и $x_2$.

3. Типични примери

Пример 1: Готов (каноничен) вид

Решете уравнението $(2x – 5)(3x + 12) = 0$.

• Първа възможност: $2x – 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_1 = 2{,}5$

• Втора възможност: $3x + 12 = 0 \implies 3x = -12 \implies x_2 = -4$

• Отговор: $x_1 = 2{,}5; \quad x_2 = -4$

Пример 2: Чрез изнасяне на общ множител

Уравненията рядко идват дадени наготово в скоби. Най-често се стига до тях чрез разлагане:

Решете уравнението $5x^2 – 15x = 0$.

1. Изнасяме общ множител $5x$:

   $$5x(x – 3) = 0$$

2. Тъй като $5 \ne 0$, множителите, съдържащи $x$, са $x$ и $(x – 3)$:

   • $x_1 = 0$

   • $x – 3 = 0 \implies x_2 = 3$

• Отговор: $x_1 = 0; \quad x_2 = 3$

Пример 3: Чрез формули за съкратено умножение ($a^2 – b^2$)

Решете уравнението $4x^2 – 9 = 0$.

1. Разлагаме лявата страна като разлика на квадрати:

   $$(2x – 3)(2x + 3) = 0$$

2. Решаваме двете линейни уравнения:

   • $2x – 3 = 0 \implies x_1 = 1{,}5$

   • $2x + 3 = 0 \implies x_2 = -1{,}5$

• Отговор: $x_1 = 1{,}5; \quad x_2 = -1{,}5$

4. Двете най-големи уловки за учениците

Уловка 1: Дясната страна ТРЯБВА да е нула!

Често учениците виждат $(x – 2)(x – 3) = 6$ и погрешно записват $x – 2 = 6$ или $x – 3 = 6$. Това е фатална грешка!

Правилото за нулата работи само когато вдясно има $0$ (защото ако произведението е 6, множителите могат да са $1 \cdot 6$, $2 \cdot 3$, $(-1) \cdot (-6)$ и т.н.).

Правилен подход: Скобите се разкриват, $6$ се прехвърля отляво и изразът се разлага наново спрямо новата нула.

Уловка 2: Никога не делете на $x$!

При уравнение като $x^2 = 5x$, ако разделим двете страни на $x$, получаваме $x = 5$ и губим корена $x = 0$.

Правилната процедура е винаги прехвърляне от едната страна: $x^2 – 5x = 0 \implies x(x – 5) = 0$.