7.22. Еквивалентни уравнения. Линейни уравнения

№	Задание / Описание	Тип А (Основно / Средно ниво)	Тип Б ( Предизвикателство)
1	Проверете дали даденото число е корен на уравнението:	$3x - 5 = 7$ , за $x = 4$	$2(x - 3) = 3x - (x + 6)$ , за $x = 0$
2	Докажете еквивалентността на уравненията без пълно решаване:	$2x - 6 = 0$ и $x - 3 = 0$	$3x - 5 = x + 1$ и $2x = 6$
3	Намерете стойността на $a$ , за която уравненията са еквивалентни:	$2x - 4 = 0$ и $ax - 6 = 0$	$3(x - 1) = 6$ и $2x + a = 3x - 1$
4	Решете уравнението:	$5x - 3 = 12$	$-4x + 7 = -2x - 5$
5	Решете уравнението:	$3(x - 2) - 2(x + 1) = 5$	$4(2x - 1) - 3(x + 2) = 2(x - 5)$
6	Решете уравнението:	$x - (2x - 3) = 4 - (x + 1)$	$2x - (3x - (x - 2)) = 6$
7	Решете уравнението:	$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$	$\frac{2x}{3} - \frac{x}{4} = \frac{5}{12}$
8	Освободете се от знаменател и решете уравнението:	$\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} = 1$	$\frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{6} = \frac{x}{3}$
9	Решете уравнението:	$\frac{3x - 1}{5} - \frac{2x - 3}{2} = 1$	$1 - \frac{x - 2}{3} = \frac{2x + 1}{4} - \frac{x - 3}{6}$
10	Решете уравнението:	$(x - 2)^2 - x^2 = 8$	$(2x + 1)^2 - 4x(x - 3) = 25$
11	Решете уравнението:	$(x - 3)(x + 3) - x(x - 2) = 5$	$(3x - 1)(3x + 1) - (3x - 2)^2 = 11$
12	Решете уравнението::	$(x + 1)^3 - x^3 - 3x^2 = 7$	$(x - 2)^3 - x(x - 3)^2 = 4$
13	Докажете, че всяко число е корен ( $0x = 0$ ):	$2(x - 3) + 6 = 2x$	$(x + 2)^2 - (x - 2)^2 = 8x$
14	Докажете, че уравнението няма корен ( $0x = b, b \ne 0$ ):	$3(x - 1) - 3x = 5$	$\frac{2x - 1}{3} - \frac{4x + 1}{6} = 0$
15	Намерете естествените корени $x \in \mathbb{N}$ на уравнението:	$2x - 7 = 3 - 3x$	$\frac{3x - 2}{4} - \frac{x - 5}{2} = 2$
16	Моделирайте с линейно уравнение:	От градове A и B (на 280 km един от друг) тръгват един срещу друг два автомобила със скорости 60 km/h и 80 km/h. След колко часа ще се срещнат?	Разстоянието A-B е 300 km. Камион тръгва от A в 8:00 ч. със 60 km/h, а кола от B в 8:30 ч. със 75 km/h. В колко часа ще се срещнат?
17	Моделирайте с линейно уравнение:	Велосипедист тръгва от A със 15 km/h. След 2 часа след него тръгва моторист със 45 km/h. След колко часа мотористът ще го застигне?	Пешеходец тръгва от A със 4 km/h. След 45 минути след него тръгва друг пешеходец със 6 km/h. На какво разстояние от A ще го застигне?
18	Моделирайте с линейно уравнение:	Периметърът на правоъгълник е 48 cm. Едната му страна е с 4 cm по-дълга от другата. Намерете страните на правоъгълника.	В равнобедрен триъгълник ъгълът при върха е с 30 градуса по-малък от ъгъла при основата. Намерете ъглите на триъгълника.
19	Моделирайте с линейно уравнение:	Едно число е с 12 по-голямо от друго, а сборът им е 84. Намерете числата.	Намерете три последователни четни числа, ако сборът на първите две е с 18 по-голям от третото.
20	Моделирайте с линейно уравнение:	Баща е 3 пъти по-възрастен от сина си. След 12 години той ще бъде 2 пъти по-възрастен от него. На колко години е синът?	Майка е с 24 години по-голяма от дъщеря си. Преди 4 години майката е била 4 пъти по-голяма от дъщеря си. На колко години са сега?
21	Разложете на множители за намиране на корените:	$x^2 - 9 = 0$	$4x^2 - 12x + 9 = 0$
22	Изнесете общ множител за получаване на линейни множители:	$x^2 - 5x = 0$	$3x^3 - 12x = 0$
23	За коя стойност на параметъра $a$ числото $x = 2$ е корен:	$ax - 3 = 5$	$a(x - 1) + 2x = 3a + 1$
24	Изследвайте параметричното линейно уравнение $ax = b$ :	$ax = 4$	$(a - 2)x = a^2 - 4$
25	Намерете стойностите на $m$ , за които уравнението няма корен:	$(m - 3)x = 5$	$(m^2 - 4)x = m - 2$
26	Моделирайте с линейно уравнение:	Третината на число, увеличена с $5$ , е равна на $12$ .	Разликата на удвоено число и $4$ е с $3$ по-голяма от половината му.
27	Решете дробното уравнение (свеждащо се до линейно при $x \ne \text{конст.}$ ):	$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 5$	$\frac{x^2 - 3x}{x - 3} = 2x - 4$
28	Олимпиадни тревоги:	За кои стойности на $a$ уравненията $ax + 1 = x + a$ и $(a^2 - 1)x = a - 1$ са еквивалентни?	За кои стойности на $a$ уравнението $\vert{}x - a\vert{} = 2x - 1$ има точно един корен?

Степени и отрицателни рационални числа

В тези задачи фокусът е върху правилното пресмятане на степени с отрицателна основа, четен/нечетен показател и освобождаването от знаменател с рационални числа. Решете уравенията и намерете корените им:

1.

\frac{x - (-1)^3}{2^2} - \frac{3x - \left(-\frac{1}{2}\right)^2}{3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \cdot x - 1\frac{1}{4}

2.

0.4 \cdot \left(5x - (-2)^3\right) - \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3}x - \left(-\frac{3}{2}\right)^2 \right] = (-1)^{2026} - 1.5x

3.

\frac{2x - 1\frac{1}{3}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^3} - \frac{3x + 0.5}{-\frac{1}{4}} = \left(-\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 16x - 3\frac{1}{2}

4.

\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right) = \frac{(-2)^3 \cdot x + 1.5}{6}

5.

(2x - 0.5)^2 - 4\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 x

6.

\left(x - 1\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot (9x - 18)

7.

\left(x - \frac{1}{2}\right)^3 - x\left(x - \frac{3}{4}\right)\left(x + \frac{3}{4}\right) + 1.5 x^2 = \frac{(-1)^5 x + 2\frac{1}{4}}{8}

8.

\frac{\left(2x - \frac{1}{3}\right)^2 - 4x^2}{\left(-\frac{1}{3}\right)^3} - \frac{1.2 - 6x}{0.2} = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 \cdot (4x - 1)

9.

(x + 1)^3 - (x - 1)^3 - 6x^2 = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2} \cdot (2x - 3)

Степени и отрицателни рационални числа

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

© София-Мат ЕООД

© София-Мат ЕООД

$Kурсове и подготовка по математика, БЕЛ и английски: добрият начин да учим$