7.15 Приложение на формулите 1

Прилагането на формулите $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ и $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ надхвърля простото разкриване на скоби. В учебния материал по математика за 7. клас те се превръщат в основен алгебричен инструмент за решаване на няколко основни типа задачи.

1. Рационално пресмятане на числови изрази

Задачите от този тип изпитват умението за прегрупиране и прилагане на формулите „отдясно наляво“ или „отляво надясно“ за бързо смятане наум.

• Пресмятане на квадрати:

  $$102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$$
  $$99^2 = (100 – 1)^2 = 10000 – 200 + 1 = 9801$$

• Пресмятане на произведения:

  $$53 \cdot 47 = (50 + 3)(50 – 3) = 50^2 – 3^2 = 2500 – 9 = 2491$$

• Опростяване на числови сборове (сгъване до точен квадрат):

  $$73^2 + 2 \cdot 73 \cdot 27 + 27^2 = (73 + 27)^2 = 100^2 = 10000$$

2. Разлагане на многочлени на множители

Това е една от най-важните теми за 7. клас — превръщането на сбор/разлика в произведение чрез прилагане на формулите в обратна посока:

• Разлика на квадрати: $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$

  • Пример: $9x^2 – 16 = (3x)^2 – 4^2 = (3x – 4)(3x + 4)$

• Точен квадрат (тричлен): $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

  • Пример: $4x^2 – 12x + 9 = (2x)^2 – 2(2x)(3) + 3^2 = (2x – 3)^2$

3. Решаване на уравнения

Формулирането на изразите като точен квадрат или разлика на квадрати позволява свеждане на степенни уравнения до линейни:

• Уравнения от вида $(A)(B) = 0$ след разлагане:

  $$4x^2 – 25 = 0 \iff (2x – 5)(2x + 5) = 0 \implies x_1 = 2{,}5; \quad x_2 = -2{,}5$$

• Уравнения от вида $(x + a)^2 = 0$:

  $$x^2 + 6x + 9 = 0 \iff (x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$$

4. Отделяне на точен квадрат (Най-малка / Най-голяма стойност)

Това е ключово приложение в задачите за затворени тестови въпроси и втори модул на НВО. Тъй като за всяко реално число $A^2 \ge 0$, точният квадрат се използва за определяне на екстремум на израз.

Пример: Намерете най-малката стойност (НМС) на израза $A = x^2 – 8x + 20$.

Решение:

1. Допълваме до точен квадрат: $x^2 – 8x + 16 + 4$

2. Преобразуваме: $A = (x – 4)^2 + 4$

3. Тъй като $(x – 4)^2 \ge 0$, то най-малката стойност е $A_{\min} = 4$, която се достига при $x = 4$.

5. Доказване на делимост и неравенства

• Делимост: Използва се разлагане чрез разлика на квадрати.

  • Пример: Докажете, че $57^2 – 43^2$ се дели на $100$.

  • Доказателство: $57^2 – 43^2 = (57 – 43)(57 + 43) = 14 \cdot 100$, което очевидно се дели на $100$.

• Неравенства: Доказване, че даден израз е неотрицателен за всяка стойност на променливата.

  • $a^2 + b^2 \ge 2ab \iff a^2 – 2ab + b^2 \ge 0 \iff (a – b)^2 \ge 0$ (което е винаги вярно).

Обобщена матрица на приложенията