7.12.2 Преговор: Кръг и Окръжност

Окръжност е само външната линия (контурът) — за нея мерим дължина ( $C$ ).

Кръг е цялата заградена площ (линията + вътрешността) — за него мерим лице ( $S$ ).

Елементи

Радиус ( $r$ ): Разстоянието от центъра $O$ до произволна точка от окръжността.
Диаметър ( $d$ ): Отсечка през центъра, свързваща две точки от окръжността ( $d = 2 \cdot r$ ).
Числото $\pi$ (Пи): Показва колко пъти диаметърът се съдържа в дължината на окръжността ( $\pi \approx 3{,}14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$ ).

Формули

Величина	Чрез радиус (r)	Чрез диаметър (d)
Дължина на окръжност ( $C$ )	$C = 2 \cdot \pi \cdot r$	$C = \pi \cdot d$
Лице на кръг ( $S$ )	$S = \pi \cdot r^2$	$S = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Специални случаи

Полукръг:
- Дължина на заоблената дъга: $C_{\text{дъга}} = \pi \cdot r$
- Пълна обиколка (дъга + диаметър): $P = \pi \cdot r + 2 \cdot r$
- Лице: $S = \frac{\pi \cdot r^2}{2}$
Кръгов венец (площ между две окръжности с общ център и радиуси $R > r$ ):
- $S = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (R^2 - r^2)$

Златно правило за мащаба

Ако променим радиуса $r$ $k$ пъти:

Дължината $C$ се променя $k$ пъти.
Лицето $S$ се променя $k^2$ пъти (на квадрат).

(Пример: Ако увеличим $r$ $3$ пъти, дължината $C$ нараства $3$ пъти, а лицето $S$ нараства $3^2 = 9$ пъти).

Допълнителни задачи за Отличници: Определяне на взаимното положение (засичането) на две окръжности в координатна система

Нямат общи точки (външни)
Външно допиране ( $1$ обща точка)
Пресичат се / засичат се ( $2$ общи точки)
Вътрешно допиране ( $1$ обща точка)
Едната е вътре в другата ( $0$ общи точки)

Намиране на разстоянието между центровете $d$ чрез Питагоровата теорема:

d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

№	Задача А	Задача Б
1	Окръжност $k_1$ има център $O_1(2, 3)$ и $r_1 = 3$ , а $k_2$ има център $O_2(8, 3)$ и $r_2 = 3$ . Колко общи точки имат?	Окръжност $k_1$ има център $O_1(1, 4)$ и $r_1 = 4$ , а $k_2$ има център $O_2(1, 12)$ и $r_2 = 4$ . Засичат ли се двете окръжности?
2	Дадени са $k_1(O_1(0, 2), r_1 = 5)$ и $k_2(O_2(6, 2), r_2 = 4)$ . Определете броя на пресечните им точки.	Дадени са $k_1(O_1(3, 1), r_1 = 6)$ и $k_2(O_2(3, 9), r_2 = 5)$ . Определете броя на пресечните им точки.
3	Центровете на две окръжности са $O_1(1, 1)$ и $O_2(4, 5)$ . Радиусите са $r_1 = 2$ и $r_2 = 3$ . Допират ли се окръжностите?	Центровете на две окръжности са $O_1(2, 3)$ и $O_2(5, 7)$ . Радиусите са $r_1 = 1$ и $r_2 = 4$ . Допират ли се окръжностите?
4	Дадени са $O_1(0, 0)$ с $r_1 = 1$ и $O_2(3, 4)$ с $r_2 = 2$ . Пресичат ли се окръжностите?	Дадени са $O_1(1, 2)$ с $r_1 = 3$ и $O_2(4, 6)$ с $r_2 = 4$ . Пресичат ли се окръжностите?
5	Окръжност $k_1$ има $O_1(0, 0)$ и $r_1 = 12$ , а $k_2$ има $O_2(6, 8)$ и $r_2 = 2$ . Какво е взаимното им положение?	Окръжност $k_1$ има $O_1(1, 1)$ и $r_1 = 15$ , а $k_2$ има $O_2(7, 9)$ и $r_2 = 5$ . Допират ли се вътрешно?
6	Радар $A$ с център $O_1(0, 0)$ има обхват $r_1 = 10\text{ км}$ . Радар $B$ с център $O_2(9, 12)$ има обхват $r_2 = 8\text{ км}$ . Пресичат ли се обхватите им??	Рутер $A$ в $O_1(2, 3)$ покрива $r_1 = 7\text{ м}$ . Рутер $B$ в $O_2(14, 8)$ покрива $r_2 = 5\text{ м}$ . Има ли припокриване на сигналите им?
7	Сензори за движение покриват два кръга с радиуси $r_1 = 3\text{ м}$ и $r_2 = 4\text{ м}$ . Центровете им са на разстояние $d = 8\text{ м}$ . Колко е общата площ $S_{\text{общо}}$ , която покриват (изразена чрез $\pi$ )?	Радари са разположени в точки $O_1(0, 0)$ с радиус $r_1 = 3\text{ км}$ и $O_2(8, 0)$ с $r_2 = 4\text{ км}$ . Засичат ли се зоните им и колко е общата покрита площ $S_{\text{общо}}$ (изразена чрез $\pi$ )?
8	Два еднакви кръга с радиуси $r_1 = r_2 = 10\text{ см}$ се засичат така, че площта на общата им част е $20\pi\text{ см}^2$ . Намерете общата покрита площ $S_{\text{общо}}$ (при $\pi \approx 3{,}14$ ).	Два кръга с радиуси $r_1 = 6\text{ см}$ и $r_2 = 8\text{ см}$ се засичат така, че общата им част има лице $10\pi\text{ см}^2$ . Намерете общата покрита площ (изразена чрез $\pi$ ).