Уравнение на права. Ъглов коефициент

1. Общо уравнение на права

Общото (или още стандартно) уравнение на права в Декартова координатна система се дава с формулата:

Ax + By + C = 0

A, B, и C са константи (които не са едновременно равни на нула).
x и y са променливите (координатите на всяка точка, лежаща на правата).

Това уравнение е универсално и може да представи всяка права, включително вертикалните.

2. Декартово (Явно) уравнение на права

Декартовото (или явно) уравнение на права се получава, когато уравнението е решено спрямо $y$ (при $B \neq 0$ ). То е:

y = mx + b

x и y са променливите (координатите на точките).
m е ъгловият коефициент (наклона на правата).
b е отрезът по оста $y$ (ординатата на точката, в която правата пресича оста $Oy$ ).

Това е най-често използваният вид, тъй като директно дава наклона и пресечната точка с $y$ -оста.

3. Ъглов коефициент ( $m$ )

Ъгловият коефициент, означен с m, е числова характеристика, която определя наклона и посоката на правата спрямо положителната посока на оста $Ox$ .

А. Изчисляване от две точки

Ако имаме две различни точки $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ , ъгловият коефициент $m$ се изчислява така:

m = \frac{\text{промяна в } y}{\text{промяна в } x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Б. Геометричен Смисъл

Ъгловият коефициент е равен на тангенса на ъгъла $\alpha$ , който правата сключва с положителната посока на оста $Ox$ :

m = \tan(\alpha)

В. Значение на $m$

$m > 0$ (положителен): Правата расте (се издига) отляво надясно.
$m < 0$ (отрицателен): Правата намалява (слиза) отляво надясно.
$m = 0$ : Правата е хоризонтална (успоредна на оста $Ox$ ).
$m$ е недефиниран (знаменателят $x_2 - x_1 = 0$ ): Правата е вертикална (успоредна на оста $Oy$ ).

Г. Връзка

Ако имаш общото уравнение $Ax + By + C = 0$ (и $B \neq 0$ ), можеш да намериш $m$ и $b$ като го преобразуваш в явно:

By = -Ax - C

y = \left(-\frac{A}{B}\right)x + \left(-\frac{C}{B}\right)

Следователно, ъгловият коефициент е $m = -\frac{A}{B}$ , а отрезът по $y$ -оста е $b = -\frac{C}{B}$ .

Въпроси

1. Дефиниция на Ъглов Коефициент ( $m$ ): Каква физическа/геометрична характеристика на правата определя ъгловият коефициент $m$ ?

2. Изчисляване от Две Точки: Намерете ъгловия коефициент ( $m$ ) на права, която минава през точките $A(-1, 5)$ и $B(3, 13)$ .

3. Явно (Декартово) Уравнение: Коя е формулата за явното уравнение на права и какво представлява b в тази формула?

4. Преобразуване на Уравнения: Дадено е общото уравнение $3x + 6y - 12 = 0$ . Преобразувайте го в явното уравнение ( $y = mx + b$ ) и определете ъгловия коефициент ( $m$ ).

5. Значение на $m$ (Посока): Каква е посоката на правата (растяща или намаляваща), ако нейният ъглов коефициент е $m = -2/3$ ?

6. Хоризонтални и Вертикални Прави: Какъв е ъгловият коефициент на хоризонтална права (успоредна на $Ox$ ) и какво е нейното уравнение?

7. Уравнение от Точка и $m$ : Напишете явното уравнение на права, която има ъглов коефициент $m = -4$ и минава през точката $P(2, -5)$ .

8. Успоредни Прави: Какво е задължителното условие за ъгловите коефициенти на две успоредни прави ( $l_1$ и $l_2$ )?

9. Общо Уравнение: Коя е формулата за общото уравнение на права и защо то може да представи и вертикалните прави, за разлика от явното?

10. Уравнение от Графика (Визуално): Права минава през точката $(0, 4)$ и има ъглов коефициент $m = 1/2$ . Какво е нейното явно уравнение?

11. Използване на двете уравнения: Защо са ни нужни два вида уравнения на права. Как бихме ползвали всяко от тях?

….

Аналитичната геометрия ни позволява да превеждаме геометрични обекти (като точки, прави, криви) на алгебричен език (чрез уравнения и координати). Например, правата вече не е само черта, а е представена с уравнението $Ax + By + C = 0$ .

Благодарение на този превод, ние можем да изчисляваме геометрични свойства (разстояния, ъгли, площи) чрез чисти алгебрични операции, вместо да ги мерим с линийка и транспортир.

Ъгловият коефициент ( $m$ ) е основна характеристика на функциите в математиката. $m$ ни казва колко бързо се променя една величина спрямо друга (т.е. скоростта на промяна или наклонът). Тази концепция е в основата на диференциалното смятане (деривации/производни).

1. Задачи за уравнение на права и ъглов коефициент

Намерете ъгловия коефициент ( $m$ ) на правата, която минава през точките $P(4, 7)$ и $Q(-2, -5)$ .
Преобразувайте общото уравнение на права $4x - 2y + 10 = 0$ в явно уравнение ( $y = mx + b$ ). Определете ъгловия коефициент ( $m$ ) и отреза по $y$ -оста ( $b$ ).
Напишете общото уравнение на права, която има ъглов коефициент $m = 3$ и минава през точката $A(1, -5)$ .
Определете дали правата $l_1$ , минаваща през $A(2, 5)$ и $B(5, 11)$ , е успоредна на правата $l_2: y = 2x - 3$ .
Намерете уравнението на хоризонталната права, която минава през точката $R(-3, 8)$ .
Права $l$ има уравнение $y = -0.5x + 4$ . Какъв е ъгълът $\alpha$ (в градуси, до цяло число), който тази права сключва с положителната посока на оста $Ox$ ?
Намерете явното уравнение на права, която е успоредна на правата $2x + y - 1 = 0$ и минава през началото на координатната система $O(0, 0)$ .
Дадени са две прави: $l_1: y = 3x - 1$ и $l_2: y = -2x + 9$ . Намерете координатите на пресечната им точка.
Намерете общото уравнение на права, която пресича оста $Ox$ в точка $(6, 0)$ и оста $Oy$ в точка $(0, -2)$ .
Ако права има ъглов коефициент $m$ и сключва ъгъл $\alpha = 135^\circ$ с положителната посока на оста $Ox$ , каква е стойността на $m$ ?

2. Задачи с координати, разстояния и медицентър

Намерете разстоянието между точките $A(3, -1)$ и $B(-5, 5)$ .
Дадени са точките $A(4, -2)$ и $B(10, 6)$ . Намерете координатите на средата $M$ на отсечката $AB$ .
Точка $P$ е среда на отсечката $QR$ . Ако $Q(-1, 4)$ и $P(2, 1)$ , намерете координатите на точка $R$ .
Намерете периметъра на триъгълник $ABC$ с върхове $A(1, 2)$ , $B(4, 2)$ и $C(1, 6)$ .
Намерете координатите на медицентъра $G$ на триъгълник $ABC$ с върхове $A(-3, 1)$ , $B(2, 6)$ и $C(4, -1)$ .
Докажете, че триъгълникът с върхове $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ и $C(3, 3\sqrt{3})$ е равностранен.
Намерете уравнението на правата, която минава през точката $P(1, 3)$ и е перпендикулярна на правата $y = -2x + 7$ .
Дадени са $A(1, 1)$ , $B(5, 3)$ и $C(2, 4)$ . Намерете дължината на медианата $m_a$ (от върха $A$ към средата на $BC$ ).
Коя точка на оста $Ox$ е равноотдалечена от точките $A(2, 5)$ и $B(6, 1)$ ?
Намерете площта на правоъгълник, чиито два срещуположни върха са $A(-1, -2)$ и $C(5, 6)$ .

3. Комбинирани задачи с вектори, скалари, бази

Дадени са векторите $\vec{a} = (3, -1)$ и $\vec{b} = (-2, 4)$ . Намерете координатите на вектора $\vec{c} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ .
Намерете дължината (модула) на вектора $\vec{v} = (5, -12)$ .
Намерете скаларното произведение на векторите $\vec{p} = (4, -2)$ и $\vec{q} = (1, 3)$ .
Векторът $\vec{u}$ има координати $(x, 3)$ . Ако $|\vec{u}| = 5$ , намерете възможните стойности за $x$ .
Дадени са точките $A(1, 4)$ и $B(-3, 7)$ . Намерете координатите на вектора $\overrightarrow{AB}$ и неговата дължина.
Намерете ъгъла между векторите $\vec{a} = (1, 0)$ и $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ .
Определете дали векторите $\vec{u} = (-1, 2)$ и $\vec{v} = (3, -6)$ са колинеарни (линейно зависими).
Намерете проекцията на вектора $\vec{a} = (2, 5)$ върху оста $Ox$ и върху оста $Oy$ .
Ако векторите $\vec{a} = (4, k)$ и $\vec{b} = (-2, 6)$ са перпендикулярни, намерете стойността на скалара $k$ .
Дадени са векторите на база $\vec{e}_1 = (1, 0)$ и $\vec{e}_2 = (0, 1)$ . Напишете вектора $\vec{v} = (-7, 9)$ като линейна комбинация на $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$ .