Математиците идентифицират най-добрите версии на емблематични форми | Quanta …
връзка
През последните две години математиците идентифицираха най-добрите версии на формите на детска стая за игра. Тези резултати заемат странен ъгъл на математиката и, както е подходящо, са получени от невероятно сътрудничество, включващо математик, практикуващ оригами със съпругата си, и професор, който учи студентите си да играят с хартия.
Работата се провежда в рамките на изследването на „оптималните“ форми, което включва разбиране коя версия на форма най-добре постига цел, като се имат предвид някои ограничения. Пчелите разбират това имплицитно: те изграждат пчелни пити с шестоъгълни клетки, защото шестоъгълниците осигуряват най-голям капацитет за съхранение, използвайки най-малко ресурси.
Поне в преданията първият човек, който търси такава форма, е Дидона, кралицата основателка на Картаген. След като акостира на днешния бряг на Тунис, тя сключва сделка с берберския крал Ярбас. Той се съгласява да й даде каквато земя тя можеше да затвори в една волска кожа. Вместо да постави оскъдната кожа плоска, както очакваше Ярбас, Дидо я наряза на тънки ивици, които използва, за да заобиколи и да вземе цял хълм. Прозрението на възходящата кралица беше, че като се има предвид фиксирано количество материал, оптималната форма за обхващане на площта, която определя границите на града на Картаген, е кръгът.
„Обикновено имат този ‘вкус’. Има семейство от обекти и вие искате да знаете кой максимизира това или минимизира онова“, каза Ричард Шварц от университета Браун, който публикува три резултата за оптимални форми в бърза последователност от миналия август, включително една със съпругата си, Бриен Елизабет Браун.
Всички скорошни резултати са за минимизиране на количеството хартия, въже или връв, използвани за направата на определена форма.
Неотдавнашната серия на Шварц започна с лентата на Мьобиус, която се формира, като се вземе лента хартия, завърти се и се съединят краищата. Той има странната характеристика да бъде повърхност, която има само една страна, което означава, че можете да проследите цялата й повърхност, без дори да вдигнете пръста си.
Още през 30-те години на миналия век математиците са се опитали да намерят възможно най-дебелия правоъгълник, който може да бъде усукан в лента на Мьобиус. Изглежда интуитивно ясно, че е лесно да усучете дълъг, тънък правоъгълник в едностранна лента, но това с квадрат е невъзможно. Но къде точно е границата?
Оптималните форми възникват, когато се опитваме да минимизираме или максимизираме някаква стойност, като в този случай съотношението на ширината на лентата към нейната дължина. По решаващи математически начини те са най-екстремната версия на форма. Изследването на оптимални форми е мост между геометрията, в която дължината има значение, и топологията, клон на математиката, който се занимава с идеализирани обекти, които са безкрайно разтегливи и свиваеми. В топологията лентите на Мьобиус с различни размери са взаимозаменяеми, тъй като малка лента може да се разтегне в голяма, широка да се смачка в тясна и т.н. По същия начин, всички правоъгълни ивици с всякакъв размер са топологично еднакви.
Въпреки това, операцията по усукване на лента и съединяване на краищата променя нещата. Да се съобразяваш с оптималните форми означава да се съобразяваш с границите на топологията. Да, можете да притиснете една лента на Мьобиус в друга. Но колко можете да изстискате, преди да стане невъзможно да продължите по-нататък?
„Единият въпрос е каква е най-малката дължина, а другият е има ли начин да се постигне тази най-малка дължина и как изглежда тя“, каза Елизабет Дене от университета Вашингтон и Лий.
Общо през последните години имаше най-малко пет резултата, които идентифицираха нови най-добри стойности за различни форми, включително лентата на Мьобиус (с едно усукване), лентата на Мьобиус с три усуквания и простия възел. Някои от тези резултати идентифицират най-известната стойност за форма; други отиват крачка напред и доказват, че не е възможна по-добра стойност.
Оптималната лента на Мьобиус
За да формализират колко близо до квадрат е правоъгълникът,
математиците използват число, наречено съотношение на страните. Това е просто дължината, разделена на ширината. Квадратът има съотношение на страните 1, докато дълъг, тънък, подобен на лента правоъгълник има много по-голямо съотношение на страните. Тази лента има много хлабина, което позволява краищата на правоъгълника да бъдат усукани и прикрепени един към друг. Но тъй като лентата става по-къса и съотношението на страните се доближава до 1 — квадрат — става по-трудно. В определен момент това вече не е възможно.
През 1977 г. двама математици предположиха, че за да бъде усукан в лента на Мьобиус, правоъгълник с ширина 1 трябва да е по-дълъг от√3. През август 2023 г. Шварц доказа, че те са прави: по-близо до квадрат от това и няма начин правоъгълникът да се усуче в лента на Мьобиус.
Може да се изкушите да намерите хитро решение. Ако сгънете квадрат нагоре като акордеон, създавайки тънка лента хартия, след това можете да я усучете в лента на Мьобиус. Но това не се брои, защото гънките са остри, а не гладки. (Гладкост има специално математическо значение, което съответства на обикновения английски смисъл.)
Един централен инструмент за намиране на това как изглеждат
оптималните форми се нарича „ограничаваща форма“. Ограничаващите форми се различават в решаващи аспекти от формите, които се оптимизират, но също така споделят някои от техните свойства. По груба аналогия, помислете как, ако разтегнете правоъгълник, за да го направите по-дълъг и по-тънък, той започва да изглежда като линия или как многоъгълници с все повече и повече страни започват да приличат на кръг.
В този случай Шварц създава ограничаваща форма за лентата на Мьобиус. Започнете с плосък лист хартия с ширина една единица и√3 единици дължина. Сгънете го. Това ще създаде остри гънки, подобни на тези на акордеона, но след малко ще направим тези гънки гладки, като отпуснем хартията съвсем малко….
……
Профил: Доживотното търсене на истината и красотата на един математик – Синхуа … математик от китайски произход. Той е сред дошлите топ учени в Китай, за да преподава и провежда академични изследвания през последните години. Роден в …
връзка< /a>
Политиците не трябва да определят какво е наука, казва математикът С.Р. Шриниваса Варадхан
Индуистът
Известният математик S.R. …
връзка a>
Звезден математик напуска САЩ за Китай, задгранични тайванци се връщат да гласуват:
5 уикенд…
South China Morning Post
От синдикатите на Хонконг, подчертаващи случаите на тежко болни домашни работници защо ултрапреработените храни са вредни за вас, …
връзка
Аз съм математик и това е причината повече момчета, отколкото момичета да се раждат след a
война – Daily Mail
Daily Mail
39-годишната математичка показа на своите 165 000 последователи в Instagram как съотношението между момчета и момичета се отклони от нормата както през 1919 г., така и през 1945 г. – и…
връзка
Градски математик лобира за забрана на мобилните телефони в училищата | Принц Алберт
Дейли Хералд
Принц Албърт Daily Herald
Математик от Уинипег призовава провинциалните правителства да се замислят забрана на мобилните телефони в училищата за подобряване на уменията за смятане и международни
…
връзка
Защо най-добрите математически мозъци в света избягват новите технологии – The Canberra
пъти
The Canberra Times
Математиците твърдят, че традиционните черни дъски насърчават дълбокото мислене и
комуникация между математици … математик Пиер Портал
вярваше. „…
връзка
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
