…
връзка
Хипотезата на Риман е най-важният открит въпрос в теорията на числата — ако не и в цялата математика. Той занимава експерти повече от 160 години. И проблемът се появи както в новаторската реч на математика Дейвид Хилбърт от 1900 г., така и сред „Проблемите на хилядолетието“, формулирани век по-късно. Човекът, който го реши, ще спечели награда от един милион долара.
Но хипотезата на Риман е твърд орех. Въпреки десетилетията усилия, интереса на много експерти и паричното възнаграждение, има малък напредък. Сега математиците Лари Гут от Масачузетския технологичен институт и Джеймс Мейнард от Оксфордския университет публикуваха ново сензационно откритие на сървъра за предпечатни документи arXiv.org. В статията „авторите подобряват резултат, който изглеждаше непреодолим повече от 50 години“, казва теоретикът на числата Валентин Бломер от университета в Бон в Германия.
Други експерти са съгласни. Работата е „забележителен пробив“, пише математикът и носител на медал от Фийлдс Терънс Тао на Mastodon , „макар и все още много далеч от пълното разрешаване на тази хипотеза“.
Хипотезата на Риман се отнася до основните градивни елементи на естествените числа: прости числа, стойности, които се делят само на 1 и самите тях. Примерите включват 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т.н.
Всяко друго число, като 15, може ясно да се раздели на произведение от прости числа: 15 = 3 x 5. Проблемът е, че простите числа не изглежда да следват прост модел и вместо това се появяват на случаен принцип сред естествените числа. Германският математик от деветнадесети век Бернхард Риман предложи начин за справяне с тази особеност, която обяснява как простите числа са разпределени на числовата ос – поне от статистическа гледна точка.
Доказването на тази хипотеза би предоставило на математиците нищо по-малко от един вид „периодична таблица на числата“. Точно както основните градивни елементи на материята (като кварки, електрони и фотони) ни помагат да разберем вселената и нашия свят, простите числа също играят важна роля не само в теорията на числата, но и в почти всички области на математиката.
Сега има множество теореми, базирани на хипотезата на Риман. Доказателството на тази хипотеза ще докаже и много други теореми – още един стимул за справяне с този упорит проблем.
Интересът към простите числа датира от хиляди години. Евклид доказа още през 300 г. пр.н.е., че има безкраен брой прости числа. И въпреки че интересът към простите числа продължава, едва през 18 век са направени други значими открития за тези основни градивни елементи.
Като 15-годишен физикът Карл Фридрих Гаус осъзнава, че броят на простите числа намалява по числовата ос. Неговата така наречена теорема за простите числа (доказана чак 100 години по-късно) гласи, че приблизително n / ln( n ) прости числа се появяват в интервала от 0 до n . С други думи, теоремата за простите числа предлага на математиците начин за оценка на типичното разпределение на простите числа по част от числовата линия.
Точният брой прости числа обаче може да се различава от оценката, дадена от теоремата. Например: Според теоремата за простите числа има приблизително 100 / ln(100) ≈ 22 прости числа в интервала между 1 и 100. Но в действителност има 25. Следователно има отклонение от 3. Това е мястото, където Влиза хипотезата на Риман. Тази хипотеза дава на математиците начин да оценят отклонението. По-конкретно, той гласи, че това отклонение не може да стане произволно голямо, а вместо това трябва да се мащабира най-много с корен квадратен от n , дължината на разглеждания интервал.
Следователно хипотезата на Риман не предсказва точно къде се намират простите числа, но предполага, че тяхното появяване на числовата ос следва определени правила. Според хипотезата на Риман, плътността на простите числа намалява според теоремата за простите числа и простите числа са равномерно разпределени според тази плътност. Това означава, че няма големи области, в които изобщо да няма прости числа, докато други са пълни с тях.
Можете също да си представите тази идея, като помислите за
разпределението на молекулите във въздуха на помещението: общата плътност на пода е малко по-висока, отколкото на тавана, но частиците – следвайки това разпределение на плътността – въпреки това са равномерно разпръснати и там никъде няма вакуум.
Риман формулира хипотезата, наречена на негово име през 1859 г., в тясна публикация от шест страници (единственият му принос в областта на теорията на числата). На пръв поглед обаче работата му няма много общо с простите числа.
Той се занимава с конкретна функция, така наречената дзета функция ζ( s ), безкрайно дълга сума, която добавя реципрочните стойности на естествени числа, които са повдигнати на степен s :
Още преди работата на Риман, експертите знаеха , че такива дзета функции са свързани с прости числа. По този начин дзета функцията може също да бъде изразена като функция на всички прости числа p , както следва:
Риман осъзнава пълното значение на тази връзка с простите числа, когато използва не само реални стойности за s, но и комплексни числа. Тези числа съдържат както реална част, така и корени от отрицателни числа, така наречената имагинерна част.
Можете да си представите комплексните числа като двумерна конструкция. Вместо да маркират точка на числовата ос, те вместо това лежат на равнината. Координатата x съответства на реалната част, а координатата y на въображаемата част
Сложната дзета функция, която Риман изследва, може да се визуализира като пейзаж над равнината. Както се оказва, има определени точки сред планините и долините, които играят важна роля по отношение на простите числа. Това са точките, в които дзета функцията става нула (така наречените нули), където пейзажът потъва до морското равнище, така да се каже.
Риман бързо установи, че дзета функцията няма нули, ако реалната част е по-голяма от 1. Това означава, че областта на ландшафта вдясно от правата линия x = 1 никога не потъва до морското равнище. Нулите на дзета функцията също са известни при отрицателни стойности на реалната част. Те лежат на реалната ос при x = –2, –4, –6 и т.н. Но това, което наистина интересуваше Риман — и всички математици след това — бяха нулите на дзета функцията в „критичната лента“ между 0 ≤ x ≤ 1.
В критичната лента (тъмно синьо) дзета функцията на Риман може да има „нетривиални“ нули. Хипотезата на Риман гласи, че те са разположени изключително на линията x = 1/2 (пунктирана
линия).LoStrangolatore/Wikimedia ( CC BY-SA 3.0 )
Риман знаеше, че дзета функцията има безкраен брой нули в критичната лента. Но интересното е , че всички изглежда лежат на правата x = 1/2 . Така Риман изказва хипотезата , че всички нули на дзета функцията в рамките на критичната лента имат реална част от x = 1/2 . Това твърдение всъщност е в основата на разбирането на разпределението на простите числа. Ако е правилно, тогава разположението на простите числа по числовата ос никога не се отклонява твърде много от набора от прости числа.
Запиши се заНашият ежедневен бюлетин
Към днешна дата вече са изследвани милиарди и милиарди нули на дзета функция — повече от 10 13 от тях — и всички лежат на правата линия x = 1/2 .
Но само това не е валидно доказателство. Ще трябва да намерите само една нула, която се отклонява от тази схема, за да опровергаете хипотезата на Риман. Следователно ние търсим доказателство, което ясно демонстрира, че няма нули извън x = 1/2 в критичната лента.
Досега такова доказателство не беше възможно, така че изследователите възприеха различен подход. Те се опитаха да покажат , че има най-много определен брой N нули извън тази права x = 1/2 . Надеждата е да се намали N до N = 0 в даден момент, като по този начин се докаже хипотезата на Риман. За съжаление и този път се оказва изключително труден. През 1940 г. математикът Алберт Ингам успява да покаже, че между 0,75 ≤ x ≤ 1 има най-много y 3/5+ c нули с въображаема част от най-много y , където c е константа между 0 и 9.
През следващите 80 години тази оценка почти не се подобри. Последният забележителен напредък идва от математика Мартин Хъксли през 1972 г. „Това ни ограничи да правим много неща в аналитичната теория на числата“, написа Тао в публикацията си в социалните медии . Например, ако искате да приложите теоремата за простите числа към къси интервали от типа [ x , x + x θ ] , сте били ограничени от оценката на Ingham до θ > 1/6 .
И все пак, ако хипотезата на Риман е вярна, тогава теоремата за простите числа се прилага за всеки интервал (или θ = 0), независимо колко малък е (тъй като [ x , x + x θ ] = [ x , x + 1] се прилага за θ = 0 ).
Сега Мейнард, който беше награден с престижния медал на Фийлдс през 2022 г. , и Гут успяха значително да подобрят оценката на Ингам за първи път. Според тяхната работа дзета функцията в диапазона 0,75 ≤ x ≤ 1 има най-много y (13/25)+ c нули с имагинерна част най-много y . Какво точно означава това? Бломър обяснява: „Авторите показват в количествен смисъл, че нулите на дзета функцията на Риман стават по-редки, колкото по-далеч са от критичната права линия. С други думи, колкото по-лоши са възможните нарушения на хипотезата на Риман, толкова по-рядко ще се появят.
„Това се разпространява до много съответни подобрения в аналитичната теория на числата“, пише Тао . Това прави възможно намаляването на размера на интервалите, за които се прилага теоремата за простите числа. Теоремата е валидна за [ x , x + x 2/15 ], така че θ > 1 / 6 = 0,166… става θ > 2 ⁄ 15 = 0,133…
За този напредък Мейнард и Гут първоначално са използвали добре познати методи от анализа на Фурие за своя резултат. Това са подобни техники на тези, които се използват за разделяне на звука на неговите обертонове. „Първите няколко стъпки са стандартни и много аналитични теоретици на числата, включително и аз, които се опитаха да нарушат ограничението на Ingham, ще ги разпознаят“, обясни Тао . Оттам обаче Мейнард и Гут „извършват редица хитри и неочаквани маневри“, пише Тао.
Бломър се съгласява. „Произведението предоставя изцяло нов набор от идеи, които – както правилно казват авторите – вероятно могат да бъдат приложени към други проблеми. От изследователска гледна точка това е най-решаващият принос на работата“, казва той.
Така че дори ако Мейнард и Гут не са разрешили хипотезата на Риман, те поне са предоставили нова храна за размисъл, за да се справят със 160-годишния пъзел. И кой знае – може би техните усилия държат ключа към най-накрая разбиването на предположението.
….
Ето 8 забележителни индийски математици, които промениха света! – Бизнес Вътрешна Индия
Business Insider Индия
От: Анкуш Банерджи. Кредит: iStock. Убежище за математиците. Индия има богата история на математически иновации, с много математици …
връзка
Математици аматьори откриха петата машина на Тюринг „заетия бобър“ – Quanta Списание
Списание Quanta
Бобрите влизат в историята с математика Тибор Радо, който беше номер непознат за дългите пътувания. Роден в Унгария през 1895 г., той постъпва в университета
…
връзка
Математикът по климата – Scienceline
Научна линия
Математикът по климата. Докато светът се затопля, ученият Дейвид Холанд е създаване на прогноза за времето за полярните ледени шапки. Gayoung Lee • 25 юни …
връзка< /a>
Нова книга от математиците Дейвид Ейнджъл и Томас Бриц – UNSW Сидни UNSW Сидни
Нова книга от математиците Дейвид Ейнджъл и Томас Бриц. Представяне на книгата съвпада с 60-годишнината на Училищния математически вестник …
връзка
Математикът Хана Фрай: „Въпреки че лейбъристите ще спечелят, те трябва да смекчат
техните очаквания’
Телеграф
Повечето брилянтни математици се придържат към веригата на лекциите. Фрай, който е на 40
професор по математика на градовете в UCL, домакин на подкаста за AI …
връзка
Индия е електроцентрала на математиката, казва Кришнасвами Алади – индусът Индуистът
Автобиографията на известния математик Кришнасвами Алади, озаглавена My Математическата вселена – хора, личности и професия беше …
връзка
Черните герои в математиката – училището на Уилсън
Училище на Уилсън
Имахме голям късмет да се присъедини към нас професор Нира Чембърлейн OBE. д-р Чембърлейн, дипломиран учен, дипломиран математик, …
връзка
Вегетарианците са били наричани питагорейци заради известния математик мразен от … – MSN
Вегетарианците са били наричани питагорейци заради известния математик омразен от високото…
Вегетарианците са били наричани питагорейци заради известния математик ненавиждани от гимназистите навсякъде отказват да ядат месо. Разказ от…
връзка
Млад математик се надява да покаже талант на международно състезание – IOL
IOL
Suhrit Avaneesh Pitchaimuthu Sridhar е избран да представлява Юга Африка на Международното състезание по математика в Индия (InIMC) в …
връзка
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –