12.7.2 Тест – алгебричен апарат 2

1. Аритметична и геометрична прогресия: $n$ -ти член, сума и свойства

(Модул 1): Намерете първия член $a_1$ и разликата $d$ на аритметична прогресия, за която $a_3 + a_7 = 20$ и $S_6 = 42$ .
(Модул 2): Три числа $x, y, z$ образуват аритметична прогресия със сума $18$ . Ако към второто число добавим $3$ , получените три числа образуват геометрична прогресия. Намерете $x, y, z$ .

2. Корен $n$ -ти, степен с рационален показател и графики на степенни функции ( $y=\sqrt{x}$ , $y=x^3$ )

(Модул 1): Опростете и пресметнете стойността на израза:

$A = \frac{\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}$
(Модул 2): За кои стойности на аргумента $x$ графиката на функцията $y = \sqrt{x}$ лежи над правата $y = x - 2$ ?

3. Показателна функция, показателни уравнения и неравенства

(Модул 1): Решете показателното уравнение:

$3^{2x + 1} = 27^{x - 1}$
(Модул 2): Намерете корените на хомогенното показателно уравнение:

$2 \cdot 4^x - 5 \cdot 10^x + 3 \cdot 25^x = 0$

4. Логаритъм: свойства, преобразувания и смяна на основата

(Модул 1): Пресметнете стойността на израза:

$A = \log_5 100 - \log_5 4 + \log_2 \sqrt{8}$
(Модул 2): Пресметнете стойността на израза чрез формула за смяна на основата:

$C = \log_2 7 \cdot \log_7 16$

5. Логаритмични уравнения/неравенства и анализ на графики

(Модул 1): Решете логаритмичното уравнение:

$\log_2 (x + 3) + \log_2 (x - 1) = 5$
(Модул 2): Дадена е функцията $f(x) = \log_2 (x^2 - 4x + 8)$ . Намерете нейната най-малка стойност (НМС) за $x \in \mathbb{R}$ и изследвайте интервалите, в които функцията е строго растяща.